1.2　圆桌问题

蒂蒂：“前阵子，我在电视上看到一家餐馆内的摆设。”

我：“嗯。”

蒂蒂：“其中一张圆桌上面有 Lazy Susan……”

我：“Lazy Susan 是什么啊？”

蒂蒂：“就是圆桌上可以转来转去的旋转台。”

我：“哦……原来那个东西叫作 Lazy Susan 啊！”

蒂蒂：“客人会围坐在圆桌周围。”

我：“是啊，围着圆桌吃饭。”

蒂蒂：“围坐在圆桌周围，客人可以和旁边的客人聊天，不过要是座位相隔远一点儿，交谈不是很不方便吗？”

我：“没错。”

蒂蒂：“如果想和所有人都说话，只能常常换座位啰！于是我产生了一个想法，以餐馆的圆桌为例，要是有 5 个人围绕圆桌坐成一圈，共有几种入座方式呢？”

问题 1（圆桌问题）

一张圆桌，有 5 个座位。5 个人欲坐在这些座位上，共有几种入座方式呢？

我：“原来如此，这个问题啊……”

蒂蒂：“学长，请等一下。”

我：“咦？”

蒂蒂：“学长，不要马上告诉我答案哦！”

我：“好好好，你是怎么想的呢？”

蒂蒂：“试着将 5 个人排排看，算算总共有几种可能的排列方式。”

我：“哦！”

蒂蒂拿出笔记本。

蒂蒂：“就像这样，不过算到一半的时候变得有点儿混乱……”

蒂蒂的笔记

我：“我明白了。你想用穷举法，把所有可能都列举出来。这是可行方法之一。”

蒂蒂：“是的。”

我：“可是，你是否按照一定的顺序来计算可能的情形了呢？”

蒂蒂：“有啊！假设有 A、B、C、D、E 这 5 个人坐在圆桌旁，画成示意图就像这样。首先，让 A、B、C、D、E 按顺时针方向入座。”

（1）5 人按顺时针方向入座

我：“嗯，基本上没错。请问：A 和 B 之间的连接是什么意思呢？”

蒂蒂：“这条线表示接下来要将这两个人的座位对调。A 和 B的座位对调，就是另一种入座方式，所以变成下面的（2）。”

（2）将 A 和 B的座位对调

我：“这样啊……嗯。”

蒂蒂：“其次，考虑 A 和 B 不相邻的情况，假设 A 和 B 之间夹了 C，变成（3）的情形。”

（3）A 和 B 之间夹着 C

我：“嗯，没错。”

蒂蒂：“然后和刚才一样，再将这两个人的座位对调，得到（4）。”

（4）将 A 和 B的座位对调

我：“蒂蒂……”

蒂蒂：“接下来，考虑 A 和 B 之间夹了 C 和 D的情形，也就是（5），然后，再将这两个人的座位对调，得到（6）。”

（5）A 和 B 之间夹着 C 和 D

（6）将 A 和 B的座位对调

我：“蒂蒂，可是……”

蒂蒂：“不过，当我想在 A 和 B 之间夹进 C、D、E 时，也就是（7）的时候，发现了一件事。”

（7）A 和 B 之间夹着 C、D、E

我：“……”

蒂蒂：“（7）的入座方式从另一个角度看，和（2）的入座方式一模一样。”

（7）和（2）的入座方式完全相同

我：“是啊，这种解题方式不太好，会重复计算哦！”

蒂蒂：“没错，学长说得对，这种解题方式并不好。我原本以为只要让夹在 A 和 B 之间的人数逐渐增加，就可以列出所有可能的情形。没想到圆桌居然是陷阱。一不小心，同样的入座方式就会重复出现。”

我：“正是如此。逐渐增加人数这个想法不错，但是出现重复情形就麻烦了。”

蒂蒂：“于是，我就被困在这里。碰到这种情况的时候，要怎样思考才能找到答案呢？怎么做才能真正解出数学题的答案呢？”

蒂蒂看向我，睁大她的眼睛，等待我的回答。

我：“嗯……这么说吧，蒂蒂，能解答所有数学题的万能解题法，并不存在。”

蒂蒂：“啊，这么说也是啦，不好意思。但这样一来，不就需要把各种解题方式全部死记硬背下来才行吗？这样在我们碰到不同的数学题时，才有办法解答。不过，要把所有解题方式都背下来实在有点儿困难……”

我：“嗯，相当困难。能解答所有数学题的万能解题法并不存在，当然，也不可能把所有数学题的解题方式都背下来。”

蒂蒂：“没错，就是这个意思。万能的工具不仅不存在，把所有工具都收集齐全也很困难，那该怎么办才好呢？”

我：“我说蒂蒂啊，这个想法会不会太极端呢？你想到的解题方式过于极端，实际的情形常常介于两者之间。”

蒂蒂：“这是什么意思呢？”

我：“解数学题的时候，通常不会只用到死记硬背的解题方式。当然，还是会用到记忆中的解法，把自己以前所有的解题经验全拿来试试看。但解题时，必须详读题目、理解叙述、整理解题条件……这样才能逐渐推导、得到答案哦！”

蒂蒂：“听起来好复杂哦……”

我：“把某些解题方式死记硬背下来是一个办法，不过如何运用这些解题方式很重要。在数学家波利亚的《怎样解题》这本书中，提到许多解题方式。至于我自己的解题经验嘛，只是许多顺利解答与被难题困住解不出来的经验而已。真要说的话，我在解题的时候，常常会这样对自己‘提问’。”

● 仔细阅读题目了吗？

● 能试着举一个例子吗？举例说明，验证自己是否理解。

● 能试着作图吗？

● 能整理成表格吗？

● 能为未知事物命名吗？

● 是否考虑到所有状况？有没有遗漏？

● 有没有类似的东西？

● 会不会觉得“如果那样就好了”？

● 反过来想又会怎么样呢？

● 如果数太大，想想看数小的情况怎么样？

● 遇到极端的情形该怎么办？

● 再重新仔细阅读一遍题目。

蒂蒂：“原来如此……学长所说的‘提问’，虽然听起来很抽象，实际却很具体。和直接解答相比，这些提问好像很抽象，但就对自己的要求而言，却是很具体的提问。”

蒂蒂一边点头一边说，很快接受了我的说法。

我：“没错。面对题目的时候，这样的‘提问’很有效。在解题时，自问自答是很有用的方法。”