1.3 回到圆桌问题
蒂蒂:“回到刚才的餐馆的圆桌旋转台,学长会怎样解这个题目呢?嗯……我想问的不是‘答案本身’,而是想问学长该怎么思考,或者说解题时的思考方式。”
问题 1(圆桌问题)
一张圆桌,有 5 个座位。5 个人欲坐在这些座位上,共有几种入座方式呢?
我:“嗯,如果是我,大概会和你一样,先‘用示意图表示’,也就是画出 5 个人坐在不同座位上的示意图。接着为这 5 个人‘命名’,分别为 A、B、C、D、E,这部分也和你一样。”
蒂蒂:“都和人家一样……”
我:“嗯,不过这 5 个人的排列顺序可能和你的方式不太一样。然后,当我得到几种入座方式时,应该会有和你一样的发现。”
蒂蒂:“和我一样的发现……”
我:“没错,我会想到让 5 个人围绕一圈坐好,不过大概不会真的画出可以旋转的 5 个座位,而是想象另一种比较简单的表现方式,以对应这 5 个座位。这是因为可以旋转的座位,在计算的时候很容易混淆。”
蒂蒂:“是的,我也觉得这样不太好算。”
我:“是啊,这时就会用到‘提问’中的:‘会不会觉得如果那样就好了?’”
蒂蒂:“如果那样就好了?”
我:“没错,我会觉得要是座位不能旋转就好了。”
蒂蒂:“原来如此。可是,实际上还是可以转啊!”
我:“为什么我们会觉得座位旋转不好呢?因为我们原先可能会以为某两种入座方式是不同情形,但旋转后发现它们其实是相同情形,这样就重复计算了。”
蒂蒂:“是啊!”
我:“所以我们要想办法禁止座位旋转。为了达到这个目的,只要固定其中 1 人的座位即可。”
蒂蒂:“啊!”
我:“固定其中 1 人的座位,即使旋转座位,这个人的座位也不会发生改变,结果入座方式会变得与前面不同,所以不会重复计算。”
蒂蒂:“也就是让其中 1 人当‘国王’啰!”
我:“哈哈,这样讲也没错。让其中 1 人当‘国王’,固定座位,再来数数看有几种入座方式。如果那样就好了,善用这个提问,便能有益于解题。”
蒂蒂:“原来如此。从要是座位不能旋转就好了,进一步推论到固定其中 1 人的座位就行了……”
我:“你刚才的解法中,最上面的座位会变来变去,不是吗?一下是 A 一下是 B。”
蒂蒂:“是的,因为我有时候会将 A 和 B 对调。”
我:“别再用这种方法了。改用固定其中 1 人的座位,入座情形会变得比较简单。”
固定 A 再试试看