2.1　极限的概念

极限是贯穿高等数学始终的一个重要概念，极限概念的产生源于解决实际问题的需要，在学习过程中可逐步加深对极限思想的理解.

2.1.1　x→∞时函数的极限

定义2.1　如果当x的绝对值无限增大时，函数f（x）有定义，且函数值无限趋近于某一确定的常数A，则称A为x→∞时函数f（x）的极限，记作或f（x）→A（x→∞）.由定义可知，当x→∞时，的极限为0，即.

如果当x>0且x无限增大时，函数f（x）有定义，且函数值无限趋近于某一确定的常数A，则称A为x→+∞时f（x）的极限，记作.例如，当x→+∞时，f（x）=e-x的极限为0，即.如果当x<0且无限增大时，函数f（x）有定义，且函数值无限趋近于某一确定的常数A，则称A为x→-∞时函数f（x）的极限，记作.例如，当x→-∞时，f（x）=ex的极限为0，即.

根据定义可得：.

【例2.1.1】　判断是否存在.

解：.因为，所以不存在.

数列y1，y2，…，yn，…可以写成yn=f（n）（n=1，2，3，…），即数列可以看成是自变量为正整数的函数.由定义2.1得到数列极限的定义（定义2.2）：

定义2.2　如果当n无限增大时，数列yn无限接近于某一确定的常数A，则称A为数列yn的极限.此时也称数列yn收敛于A，记为或yn→A（n→∞）.若数列yn的极限不存在，则称该数列发散.

例如：①；②不存在.

2.1.2　x→x0时函数的极限

为了便于描述，先介绍邻域的概念：开区间（x0-δ，x0+δ）称为点x0的δ邻域；开区间（x0-δ，x0）∪（x0，x0+δ）称为点x0的去心δ邻域（δ>0）.

定义2.3　设函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义.如果当x无限趋近于x0时，f（x）无限趋近于某一确定的常数A，则称A为x→x0时函数f（x）的极限，记作.

由极限的定义可知，不存在，但可以记为.

设函数f（x）在点x0的某去心邻域的左侧有定义.如果当x<x0且无限趋近于x0时，f（x）无限趋近于某一确定的常数A，则称A为f（x）在点x0处的左极限，记作.设函数f（x）在点x0的某去心邻域的右侧有定义.如果当x>x0且无限趋近于x0时，f（x）无限趋近于某一确定的常数A，则称A为f（x）在点x0处的右极限，记作.

根据定义可得：.

【例2.1.2】　设，讨论是否存在.

解：由图2-1可以看出：

.显然，所以.

学习思考2.1

的值.

同步训练2.1

1.观察下列函数的变化趋势，写出它们的极限

（1）

（2）

（3）

（4）

2.设函数，求.

3.设函数，求.

4.设函数，求.