1.2 复数*
1.2.1 复数及其代数运算
（1）复数的概念
形如z=x+yi的数称为复数，其中x和y是任意实数，i称为虚数单位，并且规定i2=-1.
实数x和y分别称为复数z的实部和虚部，记为x=Rez，y=Imz.
全体复数构成的集合称为复数集，记作C，即
①复数相等的概念：设z1=a+bi，z2=c+di，则z1=z2⇔a=c且b=d.
②z=x+yi=0⇔x=0且y=0.
③复数
=x-yi称为z=x+yi的共轭复数.
如：z=1-2i则=1+2i.
（2）复数的代数运算
对以上定义的复数，我们规定其运算方法。由于实数是复数的特例，因此复数的运算法则实施于实数时，应与实数的运算结果相符。同时复数运算应能够满足实数运算的一般规律.
①
②
③
例如：（3-2i）（2+3i）=12+5i
（3）复数满足的运算律
①交换律
z1+z2=z2+z1
②结合律
z1+（z2+z3）=（z1+z2）+z3；z1（z2z3）=（z1z2）z3
③分配律
z1（z2+z3）=z1z2+z1z3
1.2.2 复数的几何表示
（1）复平面
给定复数z=a+bi，则有一有序实数对（a，b）与之相对应，于是全体复数与xOy平面上的点之间可建立一一对应关系，即点（a，b）对应复数z=a+bi.
由于x轴上的点对应实数，故x轴称为实轴；y轴上除原点外的点对应纯虚数，故y轴称为虚轴.这样表示复数z的平面称为复平面.
（2）复数的模与幅角
给定复数z=a+bi对应点M（a，b），连接OM，得到向量
，如图1-3所示.
图1-3
于是复数z=a+bi，点M（a，b），向量之间建立起一一对应关系.将
称为复数的模，记作|z|，即
，由实轴的正向到向量
之间的夹角θ称为复数z的幅角，记作Argz.
显然Argz有无穷多个值，其中任意两个值相差2π的整数倍，但只有一个值θ0满足-π<θ0≪π，称θ0为复数z的幅角的主值，记作argz（注：幅角主值在数学中取［0，2π），在电学中取（-π，π］）.
设复数
幅角的主值argz由
的值、（x，y）所在象限及
所确定.
当z=0时，|z|=0，而幅角不定.
【例1.2.1】 求下列复数的模及幅角：
①
+i；②-2；③3-4i；④3i.
解：①
在第Ⅰ象限，所以
，
所以
；
②r=|-2|=2，又-2在x轴负半轴上，所以θ=argz=π，所以Argz=2kπ+π，k∈z；
③
又（3，-4）在第Ⅳ象限，所以
，所以
；
④r=|3i|=3，又3i在y轴上半轴上，所以
，所以
.
（3）复数的三角形式
由图1-3所示，a=rcosθ，b=rsinθ则z=a+bi=rcosθ+i rsinθ=r
定义z=r为复数z=a+bi的三角形式，其中r是z的模，θ=Argz是z的幅角.
为简便起见，将复数的代数形式z=a+bi化为三角形式时，θ一般取幅角主值.
【例1.2.2】 将下列复数表示为三角形式：
①-1+
i；②3-2i；③-3i.
解：①
，且（-1，）在第Ⅱ象限，而θ∈（-π，π］，所以
，所以
②
，且（3，-2）在第Ⅳ象限，所以
.
所以
③r=3，又因为-3i在y轴的下半轴上，所以
，所以
.
（4） 复数的指数形式
设z=r
，由欧拉公式eiθ=cosθ+i sinθ，有z=r=reiθ则z=reiθ称为复数z的指数形式，其中幅角θ的单位只能是弧度.
【例1.2.3】 将下列复数表示为指数形式：
①
；
②
.
解：①
②
【例1.2.4】 用
与
表示cosθ与sinθ.
解：eiθ=cosθ+i sinθ，e-iθ=cos
+i sin=cosθ-i sinθ，
所以
.
（5）复数三角形式、指数形式的乘法，除法，乘方，开方运算
设z=r
=reiθ，z1=r1
=r1
z2=r2
=r2
则①
②
③
④
即复数的n次方根有n个值.
【例1.2.5】 计算
解：
【例1.2.6】 计算
.
解：
在第Ⅳ象限，所以
，所以
【例1.2.7】 计算
.
解：因为-i=cos
+isin，所以，
【例1.2.8】 求1-i的立方根.
解：因为
学习思考1.2
1.如何将复数的代数形式转换成三角形式？
2.如何将复数的三角形式转换成指数形式？
同步训练1.2
1.求下列复数的模及幅角
（1）
（2）
2.将下列复数表示为三角形式
（1）
（2）
3.将下列复数表示为指数形式
（1）
（2）
本章小结
了解函数的概念和性质，理解复合函数与初等函数的概念，掌握函数定义域的求法，掌握复合函数的复合过程，能够建立实际问题中函数关系.为后续的学习打好基础，完成中学到大学的衔接.机电专业可选学复数部分.
基础训练
一、单项选择题
1.下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.
A.
B.
C.
D.
2.设f（x） 的定义域为［0，4］，则f（x2）的定义域是（ ）.
A.［-16，16］
B.［-2，2］
C.［0，2］
D.［0，16］
3.下列函数中是奇函数的是（ ）.
A.y=xsinx
B.y=x2（1-x2）
C.y=x4+x3
D.y=x
4.设函数
则f［g（x）］等于（ ）.
A.
B.tanx2
C.tan2x
D.
二、填空题
1.函数
的复合过程是 .
2.若f（sinx）=3-cos2x，则f（cosx）= .
3.设
，则f（x+1）的定义域为 .
三、应用题
1.电子技术中常出现的三角波，如图1-4所示，求在时间t=0到
这一时间内电压与时间t的函数关系U
，并求
时的电压值.
图1-4
2.某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中的含药量y（单位：mg）与时间t（单位：h）之间的关系
用如图1-5所示的曲线表示.据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25mg时，治疗疾病有效.则服药一次，治疗疾病有效的时间为多少？
图1-5
［相关阅读］
数学家对“函数概念”的贡献
函数，作为微积分学研究的主要对象，伴随微积分学发展而发展.它与微积分的产生与发展密切相关.众所周知，所有微积分创立与发展期的数学家们，都同样对函数概念的产生和发展做出了应有的贡献.
英国数学家牛顿（1643—1727），以流数来定义描述连续量——流量（fluxion）的变化率，用以表示变量之间的关系，因此曲线是当时研究考察的主要模型，这是那个时代函数的概念.
德国数学家莱布尼茨（1646—1716），在1673年首先引入函数（function）一词来表示任何一个随着曲线上的点变动而变化的量，并引入了“常量”“变量”和“参变量”等概念，并且用X1、X2……来表示不同的函数.
瑞士数学家欧拉（1707—1783）在1734年引入函数符号f（x），并称变量的函数是一个解析表达式，认为函数是由一个公式确定的数量关系.他在《微分学》中写道：“如果某些量以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面的变量也随之变化，则称前面的变量为后面变量的函数.”
法国数学家柯西（1789—1857）在1823年关于函数的概念给出这样的叙述：“多个变数之间有某个关系，当其中一个变数取值的同时，其他变数的值也确定了，通常用那一个变数将其他变数表示出来.这个变数称为自变数，其他变数称为它的函数.”
德国数学家狄利克雷（1805—1859）在1837年提出了y=f（x）是x与y之间的一种对应的现代数学观点，他放弃了函数是用数学符号和运算组成的表达式的观点，抓住了函数概念的本质——“对应规律”.他说“y与x的关系不仅不必按着同一法则在全区间给出，而且也不必将其关系用数学式子表示出来”.
我国清代数学家李善兰（1811—1882）在1859年第一次将“function”译成函数，这一名词一直沿用至今.