1.7 增益系数与电流密度的关系

在式（1.5-24）～式（1.5-26）中，我们已从量子跃迁速率出发得出了增益系数的表达式，从而对增益系数有了一些定性的了解。从中可以看到，一旦在半导体材料中出现了粒子数反转，即满足fc＞fv，则在半导体材料中就有正的增益（或负的吸收），受激发射速率将大于受激吸收速率。但是，粒子数反转条件是靠外加注入电流来实现的。因此，增益系数并不是半导体材料本身的属性。原则上，增益系数与电流密度的关系可以通过求解式（1.5-24）关于增益系数的积分和式（1.5-21）来得到。但实际上，要比较精确地得到在积分式中出现的有关态密度ρc和ρv、爱因斯坦跃迁几率系数B21是困难的。为把宏观电流密度与半导体中的微观光子增益过程联系起来，这一节我们将用一些更熟悉的参数来了解增益过程和对增益系统做出半经验但又符合实际的定量估计，这对分析半导体激光器的特性具有重要的指导作用。

为了弄清注入载流子所产生的增益过程，先分析一下注入半导体中的载流子的行为。注入的载流子在浓度梯度方向上会发生扩散，在扩散长度以内的载流子在直接带隙材料中将以较大的速率产生受激的或自发的辐射复合；当然也有部分载流子不可避免地消耗在非辐射复合之中，如载流子与表而态、异质结界面态的复合和俄歇复合；在异质结激光器或发光二极管的有源区中的注入载流子还有部分越过异质结势垒而泄漏。与辐射复合相比，消耗在非辐射复合和泄漏方面的载流子所占比例较小。如忽略这些损耗，就可将描述载流子变化速率的方程简单地表示为

式中，n为注入的载流子浓度，Rr（n）为辐射复合速率，d为有源层厚度，J为注入电流密度。在稳定情况下，显然有

Jn=edRr（n） （1.7-2）

此时注入的载流子全用来产生辐射复合，并把这种量子效率为1（即每注入一电子-空穴对即辐射出一个光子）的电流密度称为名义电流密度，以Jn表示。同时，习惯上取d=1μm故Jn是在厚度为1μm的有源层内全部用来产生辐射复合所需的电流密度。

再进一步分析注入载流子是如何在半导体激光器中产生自发辐射和受激辐射复合的。如图1.7-1所示，当注入电流由零开始增加时，所注入的载流子也同时增加，并用来产生自发辐射复合。随着注入载流子浓度的增加，并达到粒子数反转条件Fc-Fv≥Eg时，也有少量注入载流子将产生受激辐射复合，但与自发发射复合相比，这部分载流子所占比例是很小的。只有当注入载流子浓度进一步增加使粒子数反转达到某一程度，即达到光子增益与其损耗相抗衡的某一阈值以后，所注入的电流才主要用来产生受激辐射。这时总的电流I=Isp+Ist，其中Isp与Ist分别为产生自发辐射与受激辐射的电流。基于上述分析，可以将电流密度达到阈值Jth以前对式（1.7-2）近似为

Jn=ersp=1.602×10-23rsp （1.7-3）

式中，rsp为单位体积、单位能量间隔的自发辐射速率，Jn的单位为A/cm2·μm。

自发辐射所产生的光子是受激辐射的“种子”。受激辐射光子是对越来越多的自发发射光子的“诱导”并制约其行为。用总的自发辐射速率所表示的电流密度与增益系数的关系如图1.7-2所示。增益系数从某一电流密度Jt开始为正值，此时在增益介质中已开始形成粒子数反转。此后，随着电流密度的增加，介质的增益系数相应增加，当电流密度达到某一阈值Jth时，由于增益饱和效应致使增益系数不再随电流密度发生大的变化，而使增益系数被“钳制”在阈值增益处。以至于不处于振荡状态的受激发射光子（如行波半导体光放大器中的光子）增益系数依图中虚线随电流密度线性变化到更高的程度。

在此分析增益系数与电流密度之间的定量关系。式（1.5-21）中的rsp是单位体积、单位能量间隔内的自发发射速率。而实际上，如图1.7-3所示，式（1.5-21）中Wsp（hv）分布在一个较宽的光子能量范围，可以将它等效为Wsp（hv）的峰值Wsp（max）与等效带宽（即其最大值的一半处的带宽）ΔE之积，因此可将名义电流密度Jn表示为

Jn=dneZWsp（max）ΔE （1.7-4）

式中，Z仍由式（1.5-29）给出，e为自由电子电荷，为考虑有源层厚度的影响，其厚度dn（dn≡1μm）仍列于表示式中。如果将式（1.5-25）中的W净（hv）以其最大值代替，则可以得到最大的光谱增益，即

由式（1.5-22）看出，W净（max）将小于Wsp（max），因而可将它们之间的关系表示为

W净（max）=Wsp（max）/γ （1.7-6）

式中，γ为大于1的因子，它取决于自发发射谱的形状和电子与空穴的准费米能级之差（Fc-Fv）。由图1.7-3可以看出，γ随着泵浦（注入）水平的增加（相应Fc-Fv增加）而减少，因而W净（max）也随之增加。将式（1.7-4）、式（1.7-5）与式（1.7-6）相结合，就给出单位体积的电流密度Jn与最大光谱增益之间的关系为

为方便起见，将等效带宽ΔE用熟知的kBT来量度：

ΔE=qkBT （1.7-8）

其中q为比1稍大的数。作为一个具体例子，将室温下GaAs的带隙、光子能量（或波长）、折射率等有关数据代入式（1.7-7）就可得到：

只要γ有一个不是太大的合理取值，则式（1.7-9）是一个有用的形式。它至少适合于Fc-Fv＞Eg+2kBT或Jn=4Jt（Jt为透明电流密度）的情况。超出该范围，增益饱和效应开始起作用，此时增益随电流的变化与半导体的性质或掺杂浓度无明显关系，控制增益的主要因素是线宽和隐含在Z（hv）中的发射波长。在很强的泵浦水平下，即Fc-Fv有较大增加，而引起带宽增加（即q值增加），如图1.7-3（b）所示。但在一个很大的增益系数范围内，q的增加为γ的减少所补偿，使γq≈4.5，因而式（1.7-9）变为

对很纯的半导体有源介质，它相当于具有抛物线能带、常数矩阵元和遵循严格的k选择的情况。这时的增益-电流关系可以利用严格的k选择下的式（1.5-4）对hv积分以求得总的自发发射速率Rsp，然后将其代入式（1.7-2）中求出名义电流密度；用式（1.5-13）乘以可得到单位长度的名义增益。为了得到所关心的峰值增益与电流密度的关系，需要将态密度ρred（hv）、电子占据几率Fc和Fv代入有关自发发射与受激发射的表示式中，然后进行适当的数值运算，显然这是很复杂的。

斯特恩给出了在严格k选择下GaAs的峰值增益与电流密度的关系，如图1.7-4所示，这是在样品厚度为1μm和几种不同温度下得到的。在相当大的增益范围（20～500cm-1）内，图中曲线可拟合成增益系数与电流密度之间的线性关系：

g=A（J-Jt） （1.7-11）

式中，Jt是增益曲线在电流密度坐标上的截距，对应刚好满足粒子数反转条件hv=Fc-Fv或增益恰为正值时的电流密度；A为g～J曲线的梯度，近似依1/T关系变化。也可将式（1.7-11）表示成相应的增益系数与注入载流子浓度n的关系：

g=a（n-nt） （1.7-12）

式中，nt对应着Jt的载流子浓度，a为相应的g～n曲线的梯度常数。由于通常电流注入效率并不为1，注入的载流子不可能完全进入半导体增益区。因而式（1.7-11）与式（1.7-2）中的梯度常数不尽一致。

尽管式（1.7-11）与式（1.7-12）是在所谓严格k选择规则下得出的增益-电流的线性近似关系，但这种简单的关系表达式却被广泛采用。下面的分析将看到，在实际的增益介质中，并不存在这种理想的线性关系。如果将式（1.7-12）两边取微分，则dg/dN更能反映整个增益系数随注入载流子浓度的变化。dg/dN称微分增益，是一个表征增益介质性能的一个重要参数，对半导体激光器的线宽提高因子、调制带宽、量子效率等特性和对半导体光放大器的增益、饱和输出功率等都产生关键性影响。

上述严格的k选择也许并不能代表任何真实的情况，即使半导体材料足够纯，注入载流子也将扰动本征抛物线带边，更何况在掺杂（特别是重掺杂）下k选择定则所受到的松弛。处理k选择受到松弛时增益系数与电流密度的关系问题时，最简单（但不精确）的方法是假设所有能带之间的主要跃迁具有相等的跃迁几率，再结合一些经验数据和使用有关函数关系的模型，同样能给出一些有用的结果。这种带间有常数跃迁几率的近似，既适合于高注入下费米能级进入抛物线能带的情况，也适合于费米能级处在带尾的情况 （不管载流子大部分在抛物带内或低温下全部处在带尾内）。对于后者，可以得到一个简单的、适合于半导体激光器工作情况的增益与电流密度的关系。以重掺杂p型半导体为例，价带处于半填充，fv=1/2。设导带具有式（1.4-15）表示的指数带尾，电子费米能级处在抛物线导带以下能量为-Fc的导带尾内。如果只考虑靠近Fc的尾态，则电子占据几率可近似表示为

将（fc-fv）及指数带尾态密度式（1.4-15）代入式（1.5-24）得到

可以证明，当Ec=Fc-Et时，将得到增益系数的最大值，即

对于导带尾态（相对于抛物带底为负值能量）上的电子，其辐射跃迁所产生的光子能量为Eg+Ec，Eg为本征带隙，在有带尾存在时称它为名义带隙。因此，对应于最大增益系数的光子能量为（Eg+Ec-ET），可见带尾的影响使gmax所对应的光子能量远低于带隙能量。

为了将gmax表示为与注入电流相应的注入载流子浓度的关系，并从式（1.7-14）和式（1.7-15）中消去与带尾无明显关系的Fc，为此使用厄歇（Unger）关系：

式中，n为注人载流子浓度，Nc为正比于的导带有效态密度，这样，方程（1.7-15）就可表示为

式中b=[（kBT/Et）2+1]1/2，带尾深度E在室温下为0.01eV。对所考虑的p型材料，注入的电子浓度n显然正比于电流密度，这就可得到呈超线性变化的的gmax与各义电流密度的关系为

式中，b值由很低温度下的1变到室温下的3。实验证明，上述超线性关系一直到注入载流子浓度达1018/cm3时仍能成立。显然带尾的存在使gmax随电流密度的变化变得缓慢，式（1.7-17）适合于激射谱处在材料增益谱中心的情况。或者说，在激射波长下的光子在一个有限谱宽内能经历最大的增益。例如，用增透或增反来改变半导体激光器的腔面反射率，这时达到阈值所需的增益将变化，激射波长也少许漂移，但仍可用式（1.7-17）来计算新情况下的最大增益系数。

另一种情况与上述考虑最大增益系数不同，有时需要知道在某一固定波长下增益随载流子浓度的变化。例如，在瞬态现象中，每个激光振荡模式的频率（或波长）可以认为是不变的。为确定上述这种变化关系，取式（1.7-14）中的Ec为定值，因而所对应的光子能量（Eg+Ec）也为定值，而式中Fc却是变量，则利用式（1.7-16）所得到的Fc随注入电子浓度的变化和式（1.7-14）可得到

式中，no是当所考虑的某一尾态与准费米能级相同时（即Ec= Fc）的载流子浓度。式（1.7-19）所表示的是一种亚线性关系，如图1.7-5中的实线所示。为了比较，图中虚线表示最大增益与载流子浓度的关系式（1.7-17），两者相切所对应的载流子浓度为

这意味着，在这一特定的载流子浓度n下，增益介质激射波长可获得的最大增益。

前面所使用的指数带尾和跃迁矩阵元不随尾态能量而变化的假设是一种简化。斯特恩运用了比较符合实际的哈尔普林-拉克斯带尾模型和随尾态能量变化的矩阵元，对用高浓度（1018m/cm3）施主杂质补偿的p型GaAs，在不同温度下的增益系数与电流密度关系的理论与实验结果如图1.7-6所示。为便于比较，图中以点划线表示了300K下纯GaAs的结果。由图可见，在室温下，高掺杂的一般影响是使增益-电流特性偏离线性，即在g＜100cm-1的区域内，增益随电流上升缓慢，而在g＞100cm-1的区域内，与纯GaAs相比几乎有相同的、较快的增长速率。其原因是前面曾提到的，当注入电流密度J=4Jt时，增益系数与电流的关系与半导体的性质和掺杂浓度无关，而只取决于发射带宽，当带宽大于kBT时，由于高掺杂而畸变的能带结构虽使带宽增加，但在高温和高电流下，这种带宽增加的影响变得越来越不明显，在室温和增益大于300cm-1所对应的电流下，这种影响可以忽略。同时，在高掺杂下也不致由于自由载流子吸收使增益系数明显减少。所有这些，使得高掺杂与纯半导体在高注入电流下有近乎相同的增益特性。

与图1.7-4比较还可看到，重掺杂减少了增益刚好为正值的电流密度Jt，致使在低电流密度下增益系数仍有有限的增加，这是因为带尾越深，粒子数达到反转所要求的费米能级也越低。由注入载流子所占据的态数也比费米能级位于抛物带内少得多。因此，在重掺杂下Jt的减少是由于所要求注入的载流子数减少，另外，斯特恩认为在深尾态上的载流子复合寿命较长。

斯特恩还计算了净受主浓度（NA-ND）=4×1017/cm3的轻掺杂GaAs在室温下增益系数与名义电流密度的关系，如图1.7-7所示。在各曲线上还标出了大于或小于抛物线带隙的光子能量。各曲线是依式（1.7-19）对固定光子能量下得到的，最上面一条是最大增益gmax的包络线，它与严格k选择定则下的纯GaAs的增益曲线很相近（参见图1.7-4），但在电流密度小于4000A·cm-2·μm-1时，增益系数并不为零。图1.7-8是依据和图1.7-7同样的情况但以名义电流为参数的增益系数与光子能量的关系曲线。由图看出，峰值增益（由图中短划线表示）随名义电流的增加而增加，峰值增益的光子能量随电流增加而增加。在带尾区，这种增加的速度缓慢。这种增加电流而增加增益的同时发生波长漂移的现象在半导体激光器和放大器中是常遇到的，也是这些器件需稳定工作的困难之一。