1.5 命题逻辑的推理

1.5.1 推理理论

数理逻辑是用数学方法研究推理的形式结构和推理规律的数学学科。推理是从前提出发推出结论的思维过程，其中前提是已知的命题公式，结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。关于从前提A推出结论B的定义如下。

定义1.5.1 设A和B是两个命题公式，当且仅当命题A→B是重言式时（即A→B⇔1时），称从A推出B是有效的，或A蕴涵B，或B是前提A的结论，可以表示成A⇒B。

一般地，推理的前提可以是多个命题公式A₁，A₂，…，A_n，若（A₁∧A₂∧…∧A_n）→B是重言式，则称由前提A₁，A₂，…，A_n推出结论B是有效的，可表示为（A₁∧A₂∧…∧A_n）⇒B。

注意，⇒不是逻辑联结词，因而A⇒B不是公式，称A⇒B为蕴涵关系式。

例1.5.1 判断下列推理是否正确。

1）p∧（p→q）⇒q

2）（p→q）∧q⇒p

解 写出p∧（p→q）→q和（p→q）∧q→p的真值表。

由真值表1.5.1可知，p∧（p→q）→q是重言式，所以蕴涵关系式p∧（p→q）⇒q成立。而（p→q）∧q→p不是重言式，所以蕴涵关系式（p→q）∧q⇒p不成立。

在由前提推出结论时，如果所有前提为真，则结论为真。但是，推理的有效性并不保证推出的结论是真的，因为有效推理并没有要求所有前提的真值必须为真，当前提中包含假命题时，有效推理可能推出真值为假的结论。

例1.5.2 证明“如果牛吃草，则马会飞；马不会飞，所以牛不吃草”是正确的推理。

证明 设p表示“牛吃草”，q表示“马会飞”。

上述推理问题的前提符号化为p→q、，结论符号化为。因此，只需证明是p→q和的结论。

而

所以，是p→q和的结论，即蕴涵关系式成立。尽管结论“牛不吃草”真值为假，这仍然是正确的推理，这个结论是有效的，得出这个真值为假的结论的原因是前提条件中的p→q的真值为假。

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有一些重要的蕴涵关系式，称为推理定律。这些蕴涵式如下。

定理1.5.1 对任意公式A₁，A₂，…，A_n，B，C，由A₁，A₂，…，A_n推出B→C是有效的，当且仅当由A₁，A₂，…，A_n和B推出C是有效的。

证明 根据定义1.5.1，有（A₁∧A₂∧…∧A_n）→（B→C）⇔1。

因为

所以（A₁∧A₂∧…∧A_n）→（B→C）是永真式，当且仅当（A₁∧A₂∧…∧A_n∧B）→C是永真式，即A₁，A₂，…，A_n和B推出C是有效的。

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该定理在证明推理问题时十分有用。根据该定理，如果需要推出结论的形式为B→C，则可以把B放在前提中，设法推出C即可。这是一条命题推理规则，称为CP规则。