2.9.1　群

首先来了解一下群。

定义2.9.1　群(Group)

群表示一个特殊的集合，一般用符号表示，对于集合中的元素可以执行二元运算“.”，代数运算规则包括但不限于加减乘除，还可以是一些特殊规定的运算。一个集合成为群的前提是满足以下4个条件。

1）封闭性：对于所有群中任意元素，也属于。

2）结合律：对于所有群中任意元素，使得成立。

3）单位元：群中存在一个单位元，使得成立。

4）逆元：群中每个元素都存在逆元素，对于每个群中的，在群中也存在一个元素，使得总有成立。

例如，整数集和整数的加法所构成的群，就满足以上4个条件。椭圆曲线也是建立在群上的。在第9章介绍椭圆曲线时会看到，因为群的元素是椭圆曲线上的点，通过椭圆曲线基本运算可知满足结合律，而单位元是无穷远点，乘法单位元是1 。

如果一个群中元素是可数的，则这个群被称为有限群（Finite Group），群的阶（Order）等于群中元素的数量。否则，该群是一个无限群，群中的元素不可数。

而如果对于群中所有任意元素，还满足交换律：

那么群则被称为阿贝尔群（Abelian Group），也被称为交换群。

群的例子有很多，为了方便理解，下面列举几个群的例子和不是群的例子。

● 正整数集合在加法运算下，即，不是一个群。因为没有单位元使得，。

● 正整数集合在乘法运算下，即，不是一个群。因为其单位元是1 ，但是对于大于1 的整数而言，没有一个逆元属于，以满足，且。

● 整数集合加法运算、实数集合加法运算及有理数集合加法运算，都满足构成群的条件，因此它们都是群。

例2.9.1　假设运算符“”被定义在上，使得。证明是一个群。

解：想要证明是一个群，就需要证明它满足构成群的4个条件。假设对于任意元素，很显然，满足封闭性。

由于，也满足结合律。

因为，所以，因此2是其单位元。

最后，可以发现，因此是逆元。满足构成群的4个条件，所以是一个群。

定义2.9.2　子群(Subgroup)

若一个群的子集合按照与原群相同的结合规则构成一个群，则称该子集合形成原群的子群。即:

例如，前者就是后者的一个子群。

定义2.9.3　循环群(Cyclic Group)

设为一个群，若存在一个元素，使得，则形成一个循环群。群内任意一个元素所生成的群都是循环群，而且是的子群。

例2.9.2　整数上的模加法。在群中，在群里，在群里。

模的单位群，表示为，其中，比如群：

在群里，在群里。