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1.2.2 向量的内积
两个向量的内积也称为两个向量的点乘，它是这两个向量对应分量相乘之后求和的结果。向量的内积是一个标量。向量x=（x1，x2，…，xn）T和向量y=（y1，y2，…，yn）T的内积公式是
定义了线性运算和内积的Rn称为欧氏空间。欧氏空间的详细定义会在后续章节给出。欧氏空间是一种常用的线性空间，欧氏空间中向量的加法和数乘定义是
其中，xi、yi、c∈R是标量。
向量x的大小为它内积的平方根，即
，记为
，也称为向量的模。向量内积满足定理1.1（柯西-施瓦茨不等式）。
定理1.1 向量的内积满足
证明：当y=0时，式（1.1）显然成立。假设y≠0，令
则有
又因为
等式两边开方有
若两个向量的内积等于零，则称它们正交。若线性空间V的一个向量v∈V与V的子空间W（W⊂V）中的任意向量w正交，即对于∀w∈W，有v·w=0，则称向量v与子空间W正交。两个向量正交可以理解为它们之间的夹角为90°，任意两个向量x和y之间的夹角可以用余弦定理来表示，即
应用要点：在机器学习与人工智能的应用中，经常需要评估不同样本（将样本表示为向量）之间的相似性度量。式（1.2）就是一种常用的相似性度量，称为余弦相似度。余弦相似度的取值范围为-1～1，值越大说明两个向量越相似，值越小说明两个向量越不相似。