第四节　空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩

刚体上作用空间任意力系F1,F2,…,Fn[图3-13(a)]。应用力的平移定理,依次将各力向简化中心O平移,同时附加一个相应的力偶。这样,原来的空间任意力系被空间汇交力系和空间力偶系两个简单力系等效替换,如图3-13(b)所示。其中

作用于点O的空间汇交力系可合成一力[图3-13(c)],此力的作用线通过点O,其大小和方向等于力系的主矢,即

空间分布的力偶系可合成为一力偶[图3-12(c)]。其力偶矩矢等于原力系对点O的主矩,即

由力矩的解析表达式(3-12),有

空间任意力系向任一点O简化,可得一力和一力偶。这个力的大小和方向等于该力系的主矢,作用线通过简化中心O;这力偶的矩矢等于该力系对简化中心的主矩。与平面任意力系一样,主矢与简化中心的位置无关,主矩一般与简化中心的位置有关。

式(3-25b)中,单位矢量i,j,k前的系数,即主矩MO沿x,y,z轴的投影,也等于力系各力对x,y,z轴之矩的代数和∑Mx(F),∑My(F),∑Mz(F)。

下面通过作用在飞机上的力系说明空间任意力系简化结果的实际意义。飞机在飞行时受到重力、升力、推力和阻力等力组成的空间任意力系的作用。通过其重心O作直角坐标系Oxyz,如图3-14所示。将力系向飞机的重心O简化,可得一力和一力偶,其力偶矩矢为MO。如果将这力和力偶矩矢向上述三坐标轴分解,则得到三个作用于重心O的正交分力和三个绕坐标轴的力偶矩MOx,MOy,MOz。可以看出它们的意义是:为有效推进力;为有效升力;F'Rz为侧向力;MOx为滚转力矩;MOy为偏航力矩;MOz为俯仰力矩。

为了计算方便,一般在求主矢、主矩时利用解析法进行,这时如以简化中心为坐标原点,取直角坐标系Oxyz,如图3-13所示,将式(3-24)的两边分别在三个坐标轴上投影,可得

若主矢的方向角用α,β,γ表示,则主矢的方向余弦为

同样将式(3-25)的两边分别在三个坐标轴上投影,并利用力对点的矩与力对轴的矩间的关系,可得

若以λ,μ,ν表示主矩的方向角,则主矩的方向余弦为

此时,可以证明合力矩定理仍然成立,空间一般力系的合力对任意一点(轴)的矩等于力系中各分力对该点(轴)的矩的矢量和(代数和)。