2.3 力偶

2.3.1 力偶及力偶矩矢的概念

1.平面力偶

在研究力对物体的转动作用时，常会遇到这样一种情况：物体受大小相等、方向相反、作用线互相平行、却不在一条直线上的两个力作用。如图2.11所示的司机旋转方向盘时，图2.12所示的丝锥攻螺丝时，作用在方向盘或丝锥扳手上的都是这样一对平行力。

从物理学中可知，若两个反向的平行力，大小相等，则其合力F=0。但由于它们不共线而不能相互平衡，这一对等值、反向、作用线平行的力所组成的力系称为力偶，记作（F，F′）。力偶的两力间的垂直距离h称为力偶臂，力偶所在平面称为力偶作用面。容易证明，一个力偶无论如何简化，都不能合成为一个力，所以一个力偶不能与一个力等效，也不能和一个力平衡。力偶和力一样，都是基本力学量。它对物体的作用，是使物体的转动状态发生改变。

平面力偶的作用效果只取决于两个因素，即力偶矩的大小和转向，因此，可以用一个代数量表示，M=±Fd。正负号规定为：力偶使物体逆时针转动为正，反之为负，常用单位有N·m或kN·m等。

2.空间力偶矩矢

如图2.13所示的三个力偶，分别作用在三个同样的物体上，力偶矩都等于200N·m。因前两个力偶的转向相同，作用面又相互平行，因此这两个力偶对物体的作用效果相同［图2.13（a）、（b）］。第三个力偶作用在平面Ⅱ上［图2.13（c）］，虽然力偶矩的大小相同，但是它与前两个力偶对物体的作用效果不同，前者使物体绕平行于x轴的轴转动，而后者使物体绕平行于y轴的轴转动。

综上所述，空间力偶对物体的作用效果取决于三个因素：

(1)力偶作用面在空间的方位；

(2)力偶矩的大小；

(3)力偶使物体转动的方向。

因此空间力偶必须用矢量表示（图2.14）。

具体方法如下：矢量的长度代表力偶矩的大小，矢量的方位垂直于力偶的作用面，指向按右手螺旋法则确定。称之为力偶矩矢，通常用符号M表示。

2.3.2 力偶的基本性质

(1)力偶和力一样是静力学的两个基本要素，它在任何情况下都不能合成为一个力，或用一个力来等效替换。因此力偶不能用一个力来平衡，而只能用力偶来平衡。

（2）组成力偶的两个力对空间任意点的矩的矢量和或对平面内任意一点的矩的代数和与矩心的选择无关:恒等于力偶矩矢量或力偶矩，即M=M_O（F）+M_O（F′）（在平面上此式转化为代数方程），故力偶矩矢用M或m表示，而不用下脚标标出矩心，空间力偶矩矢没有具体的作用点，称为自由矢量。

(3)力偶对物体的转动效果只决定于力偶矩，只要力偶矩保持不变，则力偶对物体的作用效果也不会改变。

(4)在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可任意改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，如图2.15所示，用12cm长的绞杠攻丝施加20N的力，与用24cm长的绞杠攻丝，施加10N的力，其作用效果是相同的。

(5)作用在刚体上的力偶，只要保持其转向及力偶矩的大小不变，可在其力偶作用面内任意转移位置。如图2.16所示将作用在方向盘上的力偶转一个角度，只要保持力偶矩不变，其作用效果也不会改变。

（6）作用在刚体上的力偶，可以转移到与其作用面相平行的任何平面上而不改变原力偶的作用效果。

设有M（F,F′）作用在平面P上，现在要将它转移到与平面P相平行的平面Q上去。而不改变它的作用效应，其作法如下：在两平行平面间作一平行四边形ABB₁A₁（图2.17），其对角线交点O，在A₁B₁点分别加一对平衡力F₁F′₁、F₂F′₂平行于F，并使F₁=F₂=F（由加减平衡力系公理可知，不影响原力系对刚体的作用效果）将F、F₁和F′、F′₂按同向平行力合成法合成为R和R′，显然R和R′共线、反向、等值，它们组成一对平衡力，可以从力系中减掉，不影响对刚体的作用效果，剩余F′₁、F₂组成一个新的力偶M′（F′₁、F₂），可见M′（F′₁、F₂）与原力偶M（F₁,F′）等效，它作用在平面Q上。

2.3.3 力偶系的合成

设刚体上作用有力偶矩M₁,M₂,…,M_n，这种由若干个力偶组成的力系，称为力偶系。由于力偶为自由矢量，在不改变力偶矩矢大小和方向的情况下，可在物体上任意平移，故可把他们都平移到任一点，这些共点矢量可合成为一个矢量即合力偶矩。此即合力偶矩定理：力偶系可合成为一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即

合力偶矩矢的解析表达式为

式中：M_x、M_y、M_z为合力偶矩矢M在x、y、z轴上的投影。

M_x=∑M_ix，M_y=∑M_iy，M_z=∑M_iz

合力偶矩的大小和方向余弦为

对于平面力偶系(M₁,M₂,…,M_n)，各矩矢相互平行，可视为代数量，合成结果为该力偶系所在平面上的一个力偶，合力偶矩M等于各分力偶矩的代数和，即