2.4　翼型设计及优化方法

长期以来，翼型的设计一直离不开风洞试验的帮助。风洞试验是进行空气动力实验，进而获取气动性能数据最常用、最有效的工具。在飞机诞生以来相当长的一段时间内，风洞试验都是翼型设计最主要的手段。在这段时间内的翼型设计，首先靠经验丰富的设计师给出基础翼型，做成模型以便在风洞中进行升阻力试验，得到相关的气动性能数据。如果得到的数据不满足预定目标，就重新修改翼型，重复风洞实验，最终获得满足要求的翼型。

随着计算方法和计算机技术的不断进步，利用电子计算机和离散化的数值方法来模拟流体运动的计算流体力学（Computational Fluid Dynamics，CFD）得到了很大的发展。CFD技术的应用，减少了风洞以及其他一些实验的使用，降低了气动设计成本，缩短了计算周期，提高了设计质量。

在上述技术的辅助下，翼型设计及优化方法逐渐被归纳为两大类：

第一类为最优化方法，给定一个初始翼型，使用优化方法，对其进行修改，提高其气动性能。优化方法又分为两种：①为梯度下降类算法，这种方法搜索速度快，但常常收敛到局部解。②对全局最优解进行搜索，包括粒子群算法、模拟退火、遗传算法等。尽管第二种方法可以收敛到全局最优解，但运用在翼型设计中时，需要配合以大量的流体力学计算，尤其当设计空间较大时，其计算量十分庞大。

第二类为反设计方法，反设计方法通常先给出特定的飞行状态下理想的翼型表面压力分布或者速度分布，然后通过一系列算法直接计算出满足设计目标的翼型外形参数。其中常见的方法有余量修正法、遗传算法和模拟退火法等。反设计方法往往比最优化设计方法效率更高。

2.4.1　2D型线保角变换

翼型的流型保角变换理论为按照某个变换关系，把一个平面的图形变换到另一个平面上去，成为另外一个图形。变换后的图形不仅取决于具体的变换公式，还决定于原来的图形尺寸分布。

设复平面z上的一个圆zc，通过改变圆心的位置，利用儒可夫斯基变换公式，即

就能变换成另一复平面ζ上的一个翼型，如图2-16所示，ε=M/a。同时，为了保证翼型后缘存在尖角，z平面上的圆需要通过x=a这点。其中，a为翼型的1/4弦长。这样就将具有复杂形状的翼型流型转变成了简单的典型流型。

用笛卡尔直角坐标系对ζ平面上的翼型坐标进行表达，即

式中　x——翼型横坐标；

y——翼型纵坐标；

r——翼型在复平面ζ中的矢径长度；

θ——幅角。

2.4.2　形状函数控制方法

尽管儒可夫斯基翼型及在此基础上发展的卡门-特瑞夫兹翼型和实用翼型接近，但无严格的坐标对应关系。美国学者西奥多尔森解决了这个问题，思路是：既然一个圆通过儒氏变换得到的翼型很像低速翼型，反之，用同一个变换式将一个已有的实用翼型变换回去，所得的图形即使不是一个标准圆，但离圆也不会太远（即为拟圆），如图2-17所示。

基于西奥多尔森表达法的思想，简单且通用的拟圆表达式为

式中　θ——幅角；

aρ（θ）——拟圆的矢径，接近于一个常数，但局部位置与完整圆略有差异，通过选取不同的ρ（θ），就可以变换出无穷多种不同厚度、弯度、前缘半径及后缘夹角的翼型。

将式（2-20）代入式（2-19）中，可得到

在已知翼型形状及坐标参数情况下，求解形状函数ρ和幅角θ之间的关系为

对上述方程进行求解，可得

由式（2-24）和式（2-25）即可求得翼型坐标（x，y）所对应的形状函数ρ及幅角θ之间的关系。

根据泰勒级数对等思想，任意函数曲线的数学表达式都可以将其展开为级数形式，反之可通过级数来表征任意函数曲线，其几何形状及解析特性可通过级数系数的调整和优化加以控制。通过对大量翼型的集成研究发现，可以用一个简单的高阶多项式来表示ρ（θ），即

式中　Ck——多项式系数。

2.4.3　解析函数线性叠加法

解析函数线性叠加法是所有翼型参数化描述方法中应用最多的一种方法。翼型形状由基准翼型、型函数及对应系数确定。解析函数线性叠加法的通用表达式为

式中　y（x）——新翼型的表面函数；

y0（x）——基准翼型的表面函数；

fk（x）——型函数项；

N，ck——控制翼型形状的型函数参数个数及相应系数。

解析函数线性叠加法根据式（2-27）中型函数项的不同，又可分为多种参数化方法。

1.多项式型函数

式（2-28）的型函数以xk为分界点，将两端曲线光滑地连接起来，且其二阶导数在xk点处连续。

2.Wagner型函数

2.4.4　CST参数化方法

CST参数化方法（Class Function/Shape Function Transformation，CST）是近年来出现的一种基于分类函数/形状函数变换的参数化表示方法。由于具有设计变量少、可调节、设计空间广等优点，被广泛应用于翼型设计研究中。

CST参数化方法下的通用翼型可以表示为

其中，zu，zl可表示为

式中　c——翼型弦长。

该式中的用来确保得到一个圆鼻翼型；项为确保得到一个尖的翼型后缘；为翼型的后缘厚度；项控制了翼型前缘到后缘之间的曲线形状，将其用来代替，则可导出

此处为形状函数（Shape Function），具有多种形式。在翼型前缘和后缘的值分别为

式中　RLE——翼型前缘半径（leading edge radius）；

τ——后缘角，具有很直观的几何意义。

式（2-32）中的被称为类函数（Class Function），记为C（x/c），其一般形式为

N1、N2的取值控制了所选取翼型的种类。当N1=0.5、N2=1.0时，所表示的翼型种类为圆鼻翼型。

将式（2-32）和式（2-35）代入式（2-31）可得