第四节 风轮的空气动力特性

一、作用在叶素上的力

在风轮叶片上，取半径为r、长度为dr的微元，称为叶素，如图2-22所示。在风轮旋转过程中，叶素将扫掠出一个圆环。

当叶素与大气存在相对运动时，气流在叶素产生了升力dL和阻力dD，阻力与相对速度方向平行，升力与相对速度方向垂直。此外，合力dR对于叶素翼型前缘A将有一个力矩dM，称其为气动俯仰力矩。相对气流方向与叶素翼型几何弦的夹角称为攻角，用α表示，如图2-23所示。

叶素上的升力为

式中 ρ——空气的密度，单位为kg/m³；

w——相对速度，单位为m/s；

c——几何弦长，单位为m；

C_l——升力特征系数；

dr——叶素的长度，单位为m。

叶素上的阻力为

式中 C_d——阻力特征系数。

气动俯仰力矩为

式中 C_m——气动俯仰力矩系数。

对于某一特定攻角，叶素翼型上总对应地有一特殊点C，如图2-23所示，空气动力dR对这个点的力矩为零，将该点称为压力中心点。空气动力在叶素上产生的力可由单独作用于该点的升力和阻力来表示。

升力特征系数C_l、阻力特征系数C_d都与叶素翼型的形状以及攻角α有关。C_l、C_d与α的关系曲线如图2-24所示。在实用范围内，升力特征系数C_l基本上成一直线，但在较大攻角时，略向下弯曲。当攻角增大到α_cr时，C_l达到其最大值C_lmax，其后则突然下降，这一现象称为失速。它与叶素翼型上的表面气流在前缘附近发生分离的现象有关，如图2-25所示，攻角α_cr称为临界攻角。失速发生时，风力机的输出功率显著减小。

对一般的叶素而言，临界攻角α_cr在10°～20°范围内。这时的最大升力系数C_lmax为1.2～1.5。

阻力特征系数C_d与α关系曲线的形状有些与抛物线相近，一般在某一不大的负攻角时，有最小值C_dmin。此后随着攻角的增加，阻力增加得很快，在到达临界攻角以后，增长率更为显著。

C_l与C_d的关系也可做成极曲线，如图2-26所示，以C_d为横坐标，C_l为纵坐标，对应于每一个攻角α，有一对C_d、C_l值，可以确定曲线上的一点，并在其旁标注出相应的攻角，连接所有各点即成为极曲线。该曲线包括了图2-24中两条曲线的全部内容。因升力与阻力本是作用于叶素上的合力在与速度w垂直和平行方向上的两个分量，所以从原点0到曲线上任一点的矢径，就表示了在该对应攻角下的总气动力系数的大小和方向。该矢径弦的斜率，就是在这一攻角下的升力与阻力之比，简称升阻比，用E表示，即E=C_l/C_d。过坐标原点做极曲线的切线，就得到叶片的最大升阻比E_max=cotε₀。显然，这是风力机叶片最佳的运行状态。

二、旋转尾流

气流通过叶素时，叶素所受转矩与其作用在空气上的转矩大小相等、方向相反。反转矩作用的结果会导致空气逆着风轮转向旋转，从而获得角动量，这样会使流经风轮的空气微粒在旋转面的切线方向和轴向上都具有速度分量，如图2-27所示。

进入风轮的气流无任何转动，而离开风轮的气流是旋转的。转动传递发生在整个风轮的厚度处，如图2-28所示。切向速度的变化用切向气流诱导因子a′表示。风轮上游气流的切向速度为零。设风轮下游在距旋转轴径向距离为r的地方气流切向速度为2Ωra′。在风轮厚度中部切向诱导速度为Ωra′。

由动量定理，作用于风轮平面dr微元上的轴向力（推力）可表示为

式中——流经dr微元的空气质量流量。

式中 dA_d——风轮平面dr微元的面积。

假设式（2-17）和式（2-26）仍然成立，则将其带入式（2-35）和式（2-36），考虑到dr微元的面积dA_d=2πrdr，可得

忽略轮毂和叶尖等因素的影响，作用于整个风轮上的轴向力（推力）可表示为

式中 R——风轮半径。

作用在风轮平面dr叶素上的转矩与叶素反作用于空气的转矩大小相等，而作用于空气的转矩等于通过此环形区的空气的角动量的变化率，即

可得出作用在叶素上的转矩为

作用于整个风轮上的转矩可表示为

风轮平面dr叶素上输出的功率增量为

整个风轮上输出的功率可表示为

又可表示为

式中 A_d——风轮面积，且有A_d=πR²；

λ——叶尖速度比，且有λ=ΩR/v_∞。

这时，风轮风能利用系数可表示为

当考虑到风轮后尾流旋转时，风轮的风能利用系数要减小。但是，当风轮的尖速度比λ＞5时，这种影响很小。

三、叶素-动量定理

对于一个叶片数为N、叶片半径为R、弦长为c、叶素桨距角为β的风力机，弦长和桨距角都沿着叶片轴线变化。令叶片的旋转角速度为Ω，风速为v_∞。叶素的切向速度Ωr与风轮厚度中部气流的切向速度a′Ωr之和为二者相对切向流速度，其值为（1+a′）Ωr。图2-29所示为在半径为r处叶素上的速度和作用力。

从图2-29中得到的叶片上的气流相对速度

气流相对速度与旋转面之间的夹角（称为气流倾角）是φ，则

攻角α由式（2-49）给出

假定作用于叶素上的力仅与通过叶素扫过圆环的气体的动量变化有关。而通过邻近圆环的气流之间不发生径向相互作用。

气流相对速度w引起的作用在长度为dr叶素上的空气动力dR可以分解为法向力dF_n和切向力dF_t，dF_n可以表示为

式中 C_n——法向力系数，且有

dF_t可以表示为

式中 C_t——切向力系数，且有

这时，作用在风轮平面dr叶素上的轴向力（推力）可表示为

作用在风轮平面dr叶素上的转矩可表示为

由式（2-37）和式（2-54）可得

式中 σ_r——弦长实度。定义为给定半径下的总叶片弦长除以该半径的周长。即

由式（2-47）和式（2-56）可得

同样，由式（2-40）、式（2-55）和式（2-57）可得

由式（2-48）和式（2-59）可得

由式（2-58）和式（2-60）组成方程组，利用迭代法可以求得气流诱导因子a和a′。

求得a和a′以后，进而可以应用式（2-40）和式（2-41）求出作用于整个风轮上的转矩，应用式（2-44）可以求出整个风轮上输出的功率，应用式（2-45）可以求出整个风轮风能利用系数。

叶素-动量定理定量地表达了在定常正向来风的条件下风轮的稳态运动特性，同时也说明了风力机的工作原理。