2.2 离散时间系统
系统可以看作是对信号进行的操作或函数。系统可以分为：（1）连续时间系统（模拟系统）；（2）离散时间系统（数字系统）。连续时间系统是对模拟信号进行操作处理的系统。离散时间系统是对数字信号进行处理并输出数字序列的系统。
2.2.1 线性时不变系统
1.线性系统
对于离散时间系统，可以表示为
其中x（n）和y（n）都是序列，T[.]表示对序列进行操作，即把系统定义为将输入序列x（n）映射成输出响应序列y（n）的唯一变换的系统。如图2-18 所示。
图 2-18 数字系统
对于离散时间系统T[]，设输入序列x1（n），x2（n），输出响应序列分别为：y1（n）=T[x1（n）]，y2（n）=T[x2（n）]，如果对于任意常数a，b都满足
则称该系统为线性系统（Linear System）。
2.时不变系统
已知y（n）=T[x（n）]，对于任意整数k，离散系统如果满足
则称系统T[]为时不变系统。
系统既满足线性条件式（2.36），又满足时不变条件式（2.37）则称为线性时（移）不变系统。
3.单位取样响应与线性时不变系统的卷积表示
（1）单位取样响应h（n）
当线性移不变系统的输入为δ（n）时，其输出h（n）称为单位取样（脉冲）响应，如图2-19 所示，即
由于任意序列 h（n）都可用单位取样序列δ（n）表示成加权和的形式，即 h（n）=
所以
（2）用卷积表示线性时不变系统的输出
设线性时不变系统如图 2-20 所示。设线性时不变系统输入为δ（n）时，其输出为h（n）。
图 2-19 系统的单位取样响应
图 2-20 线性时不变系统
则当输入为δ（n－k）时，根据移不变性质，得h（n－k）=T[δ（n－k）]，因为x（n）=
所以
即
即：对线性时不变系统，输入x（n）和输出y（n）满足卷积关系。
4.线性时不变系统的性质
（1）交换律
（2）结合律
结合律可以表示成如图2-21（a）所示系统串联组合。
（3）对加法的分配律
对加法的分配律可以表示成如图2-21（b）所示系统并联组合。
图 2-21 线性时不变系统的组合与等效
【例2-11】分别判断下列系统的线性性、时不变性。
解：设（1）T[x1（n）]=n2x1（n），T[x2（n）]=n2x2（n）
因y（n－n0）=（n－n0）2 x（n－n0）
而：T[x（n－n0）]=n2 x（n－n0），y（n－n0）≠T[x（n－n0）]，所以为时变系统。
（2）对于系统
，a为非零常数。
2.2.2 系统的稳定性和因果性
1.稳定系统
对于一个有界的输入x（n），产生有界输出y（n）的系统，称为稳定系统。即如果：
，则稳定系统必然有：
。
【例2-12】判断系统
的稳定性。
解：设
，则：
，所以系统稳定。
一个线性时不变系统稳定的充要条件是：其单位取样响应绝对可和，即
证明：a.充分性：设式（2.41）成立并设x（n）为一个有界输入序列，即
，则
所以
b.必要性：假设系统的单位取样响应不绝对可和，即
定义一个有界的输入
，式中h∗（n）是h（n）的复共轭。
∴y（0）不是有界的。
2.因果系统
输出的变化不会领先于输入的变化的系统，称为因果系统（Causal System）。即因果系统的输出值y（n）不取决于输入x（n）的将来值，y（n）只与x（n）的现在值及过去值x（n－1），x（n－2），…有关，与将来值x（n+1），x（n+2），…无关。
例如：y（n）=T[x（n）]=x（n－1）是因果系统；
y（n）=T[x（n）]=x（n+1）是非因果系统。
一个线性时不变系统为因果系统的充要条件为
注：系统的“稳定性”和“因果性”与系统的输入x（n）无关，而取决于系统本身的结构h（n）。
【例2-13】若系统的单位脉冲响应为h（n）=－a nu（－n－1），判断系统的稳定性与因果性。
解：根据式（2.41）与式（2.42）进行判定。
（1）因果性
因为n＜0 时，h（n）≠0，故系统为非因果系统。
（2）稳定性
