4.2 间接自适应模糊控制

4.2.1 问题描述

考虑如下n阶非线性系统

其中，f和g为未知非线性函数，u∈Rn和y∈Rn分别为系统的输入和输出。

设位置指令为ym，令

选择K=（kn，…，k1）T，使多项式sn＋k1s（n-1）＋…＋kn的所有根部都在复平面左半开平面上。

取控制律为

将式（4.9）代入式（4.7），得到闭环控制系统的方程

由K的选取，可得t→∞时e（t）→0，即系统的输出y渐近地收敛于理想输出ym。

如果非线性函数f（x）和g（x）是已知的，则可以选择控制u来消除其非线性的性质，然后再根据线性控制理论设计控制器。

4.2.2 自适应模糊滑模控制器设计

如果f（x）和g（x）未知，控制律式（4.9）很难实现。可采用模糊系统和代替f（x）和g（x），实现自适应模糊控制。

1．基本的模糊系统

以来逼近f（x）为例，可用以下两步构造模糊系统。

（1）对变量xi（i=1，2，…，n），定义pi个模糊集合。

（2）采用以下条模糊规则来构造模糊系统

其中，li=1，2，…，pi，i=1，2，…，n。

采用乘积推理机、单值模糊器和中心平均解模糊器，则模糊系统的输出为

其中，为xi的隶属函数。

令是自由参数，放在集合中。引入向量ξ（x），式（4.12）变为

其中，ξ（x）为维向量，其第l1，l2，…，ln个元素为

2．自适应模糊滑模控制器的设计

采用模糊系统逼近f和g，则控制律式（4.9）变为

其中，ξ（x）为模糊向量，参数和根据自适应律而变化。

设计自适应律为

3．稳定性分析

由式（4.15）代入式（4.7）可得如下模糊控制系统的闭环动态

令

则动态方程式（4.19）可写为向量形式

设最优参数为

其中，Ωf和Ωg分别为θf和θg的集合。

定义最小逼近误差为

式（4.21）可写为

将式（4.16）代入式（4.25），可得闭环动态方程

该方程清晰地描述了跟踪误差和控制参数θf、θg之间的关系。自适应律的任务是为θf、θg确定一个调节机理，使得跟踪误差e和参数误差、达到最小。

定义Lyapunov函数

式中，γ1，γ2是正常数，P为一个正定矩阵且满足Lyapunov方程

其中，Q是一个任意的n×n正定矩阵，Λ由式（4.20）给出。

取，，。

令，则式（4.26）变为

即

V的导数为

将自适应律式（4.17）和式（4.18）代入上式，得

由于，通过选取最小逼近误差ω非常小的模糊系统，可实现。收敛性分析如下：

由于Q＞0，ω是最小逼近误差，通过设计足够多规则的模糊系统，可使ω充分小，并满足，从而使得，闭环系统为渐近稳定。

由于Q＞0，w是最小逼近误差，|ω|≤ωmax，通过设计足够多规则的模糊系统，可使ω充分小，并满足，从而使得，闭环系统稳定。

由于

其中d＞0。

则

其中l（•）为矩阵的特征值，l（Q）＞l（dPbbTPT）。

则满足的收敛性结果为

可见，收敛误差‖e‖与Q和P的特征值、最小逼近误差w有关，Q特征值越大，P特征值越小，|ω|max越小，收敛误差越小。

由于V≥0，，则V有界，因此θf和θg有界，但无法保证θf和θg收敛于和，即无法保证f（x）和g（x）的逼近。

4.2.3 仿真实例

被控对象取单级倒立摆，其动态方程如下

其中，x1和x2分别为摆角和摆速，g=9.8m/s2，mc=1kg为小车质量，mc=1kg，m为摆杆质量，m=0.1kg，l为摆长的一半，l=0.5m，u为控制输入。

位置指令为xd（t）=0.1sin（πt），取5种隶属函数，分别为μNM（xi）=exp-（（xi＋π/6）/（π/24））2、μNS（xi）=exp -（（xi＋π/12）/（π/24））2、μZ（xi）=exp -（xi/（π/24））2、μPS（xi）=exp -（（xi-π/12）/（π/24））2，μPM（xi）=exp -（（xi-π/6）/（π/24））2，则用于逼近f和g的模糊规则分别有25条。

根据隶属函数设计程序，可得到隶属函数图如图4.8所示。

倒立摆初始状态为[π/60，0]，θf和θg的初始值取0.10，采用控制律式（4.9），取Q=，k1=2，k2=1，自适应参数取γ1=50，γ2=1。

在程序中，分别用FS2、FS1和FS表示模糊系统ξ（x）的分子、分母及ξ（x），仿真结果如图4.9~图4.12所示。

仿真程序：

（1）隶属函数设计程序：chap4_3mf.m

（2）Simulink主程序：chap4_3sim.mdl

（3）控制器S函数：chap4_3ctrl.m

（4）被控对象S函数：chap4_3plant.m

（5）作图程序：chap4_3plot.m