第7章　非线性系统分析

一、选择题

1．非线性系统的无穷多条相轨迹相交的点称为（　　）。[华中科技大学研]

A．奇点

B．会合点

C．分离点

D．终点

【答案】A

2．输出信号的一次谐波分量和输入信号的复数比定义为非线性环节的（　　）。[华中科技大学研]

A．传递函数

B．描述函数

C．谐波函数

D．频率特性

【答案】B

二、解答题

1．已知非线性系统如图7-1所示，其中，T＞0，K＞0，现要求系统输入量c（t）的自振振幅X_c＝0.1，角频率为ω_c＝10，试确定参数T和K的数值。（非线性环节）[上海交通大学研]

图7-1

解：由已知ω_c＝10，线性部分传递函数为

即

又由于ω_c＝10，自振振幅X_c＝0.1得

因此有

2．已知某非线性系统结构如图所示，试用描述函数法分析K（K＞0）值对系统稳定性的影响。[南京航空航天大学2006研]

图7-2 非线性系统结构图

解：该饱和特性的描述函数为

负倒描述函数

当A＝1时，，当A→＋∞时，，因此位于负实轴上的－1~－∞区段。

线性部分频率特性为

令ImG（jω）＝0，得G（jω）与负实轴交点的频率为，且

在复平面上绘制G（jω）曲线以及曲线如下图所示。由图可见，当时，即0＜K＜6系统稳定；当时，即K＞6系统产生自振。自振频率，振幅A由求得。

图7-3

3．某单位负反馈非线性系统如图所示，非线性环节的描述函数为，线性部分的传递函数如图所示。试分析：

（1）系统是否存在自振。

（2）若产生自振，计算自振频率及振幅，并讨论极限环的稳定性。[浙江大学2008研]

图7-4 非线性系统结构图

解：非线性环节负倒描述函数为

线性部分频率特性为

且

在复平面上绘制G（jω）曲线以及曲线如下图所示，相交于B点，有

解得

即系统存在自振的频率为1.155，振幅为11.246。

图7-5

4．已知非线性控制系统的结构图如图7-6所示。为了使系统不产生自持振荡，试采用描述函数法确定图中非线性环节的特性参数a和b的数值。[长安大学研][南京理工大学研] [华中科技大学研]

图7-6

解：由题知非线性环节为死区继电器特性，则图形如图7-8所示。拐点处

对线性部分，将其归并后传递函数为

令，则

系统的负倒描述函数图形和Nyquist曲线如图7-8所示。

图7-8

5．非线性系统如图7-9所示，滞环继电器特性的描述函数为

（1）该系统是否存在自持振荡？自持振荡是否稳定？

（2）若存在稳定的自持振荡，当要求自持振荡频率ω≥20rad/s，振幅X≤0.7时。继电器参数h应如何取值？[北京理工大学研]

图7-9

解：（1）由已知得

负倒特性曲线如图7-10所示。

图7-10

G（jω）曲线如图7-10所示。由图可知，负倒特性曲线与G（jω）曲线有交点。所以存在自持振荡，并且是稳定的自持振荡。（由不稳定区→稳定区）

（2）由，得

由（1）问得，

当ω≥20时，；

由（1）、（2）得，

当ω≥20，X≤0.7时，h≤0.313，所以h的范围是0＜h≤0.255。

6．非线性系统结构如图7-11所示。

（1）在同一坐标系里绘制线性部分的Nyquist曲线和非线性环节的负倒描述函数曲线草图；

（2）由描述函数法分析系统的稳定性；

（3）在e―ė平面绘制该非线性系统的相平面草图；

（4）由相平面分析法分析系统的稳定性。[华北电力大学（保定）2008研]

图7-11

解：（1）由已知可画出线性部分的Nyquist曲线和非线性环节的负倒描述函数曲线。对于线性部分，

系统型别为Ⅱ型，故奈氏曲线起始于－180°主向，n－m＝1，奈氏曲线终止于－90°方向，且相轨迹沿相角增加方向；对于非线性环节，可知其为死区继电器特性；故曲线草图如图7-12（a）所示。

（2）由图可知，Nyquist曲线未包围负倒描述函数曲线，故系统稳定。

（3）由

又由e＝－c，可得

所以

即

且开关线为e＝Δ，e＝－Δ；相轨迹在开关线处产生跳跃。

当e＜－△时，相轨迹为开口向右的抛物线；当e＞Δ时，相轨迹为开口向左的抛物线；－△＜e＜△时，相轨迹为直线；可做相平面草图如图7-12（b）所示。

（4）由相平面草图7-12（b）可知，相轨迹最终收敛，故可判定系统稳定。

（a）线性部分的Nyquist曲线；（b）相平面草图

图7-12

7．根据所提供的数学模型，确定下列各控制系统的稳定性。

（1）已知某线性连续控制系统的开环传递函数为

（2）已知某线性离散控制系统的特征方程为

（3）已知某非线性系统非线性元件的负倒描述函数曲线和线性部分最小相位的Nyquist曲线如图7-13所示。[华北电力大学（保定）2007研]

图7-13

解：

特征方程为

劳斯表为

因此系统稳定。

均在单位圆内，因此系统稳定。

（3）系统稳定。

8．已知非线性系统的数学模型为

（1）当初始条件为时，绘制相轨迹；（注：在相平面上标出各段相轨迹的起点和终点坐标）；

（2）分析系统的稳定性；

（3）若系统稳定，计算从初态达到平衡状态所需的时间。[华北电力大学（保定）2007研]

解：（1）由题中条件可知：开关线为且相轨迹在开关线处平滑过渡。

当初始位置为时，即可得

当时，即可得因此，相轨迹为圆心为原点，半径为的圆的一部分。

此时，即所以相轨迹为开口向右的抛物线的一部分；当

时，得此时所以当时，即得

相轨迹为圆心为原点，半径为2的圆的一部分；此时即所以相轨迹为开口向右的抛物线的一部分，且相轨迹终止于原点；故可做相轨迹如图7-14所示。

（2）由相轨迹图形可知，相轨迹终止于原点，故系统稳定。

图7-14

（3）计算从点到（2，－2）点所需的运动时间：此段相轨迹方程是圆，并且，两点之间的夹角弧度为π/4，所以所需要的时间为计算从（2，－2）点到（－1，1）点所需的运动时间：由相轨迹方程同时微分得

计算从（－1，1）点到（1，－1）点所需的运动时间：此段相轨迹方程是圆，并且，两点之问的夹角弧度为π，所以从所需要的时间为：计算从（1，－1）点到原点所需的运动时间：由相轨迹方程两边同时微分得

相轨迹从起点到终点所需总的运动时间

9．某非线性系统在A点进入极限环，相轨迹如图7-15所示，试求其极限环振荡周期T。其中：AB段方程

，BC段方程，CD段方程DE段方程，EF段方程

，FA段方程。[华北电力大学（北京）2006研]

图7-15

解：计算从A点到B点所需的运动时间：对相轨迹方程

两边同时微分得

计算从B点到C点所需的运动时间：由相轨迹方程

得

计算从C点到D点所需的运动时间：此段相轨迹方程是圆，并且，两点之间的夹角弧度为，所以所需要的时间为；由相轨迹可知，因为相轨迹关于原点对称，故从D点到A点所需时间与从A点到D点的时间相等；则其极限环振荡周期为