第4章　根轨迹法

１．单位负反馈系统的开环传递函数为，试作K由零变化到正无穷时，闭环系统的根轨迹图。[北京航空航天大学2002研]

解：系统的开环传递函数可写成如下形式：

其中

1）系统有3个开环极点p_1，2＝±j，p₃＝－5，一个开环零点z₁＝－4。

2）根轨迹对称于实轴，有3条根轨迹分支，分别起始于极点p_1，2＝±j，p₃＝－5，其中一条终止于开环零点z₁＝－4，其余两条终止于无穷远处。

3）实轴上的根轨迹为[－5，－4]。

4）根轨迹渐近线与实轴倾角为，与实轴的交点为

5）与虚轴的交点：将s＝jω,代入系统的特征方程，令其实部和虚部为零，可得除了两个开环极点外，根轨迹与虚轴无交点。

根轨迹如下图：

图4-1

2．已知负反馈系统的开环传递函数为。

（1）试画出T＝0时，的根轨迹；

（2）在（1）的根轨迹上，求出满足闭环极点阻尼比值；

（3）在（2）的值下，画出0≤T≤∞的参量根轨迹；

（4）在（3）的根轨迹上，求出满足闭环极点为临界阻尼的T值。[西安交通大学研]

解：（1）当T＝0时，。此时，n＝2，系统有两条根轨迹，起点为：，一条终止于，另一条终止于无穷，两个极点一个零点为一个圆或者圆的一部分。实轴上（－∞，－2]有根轨迹。下面分别计算分离点与会合点，即

则为分离点，为会合点。根轨迹如图4-2所示。

图4-2

（2）时，对应β＝45°对应根轨迹上的－2±2j此时根据幅值条件得

（3）在（2）的值下

为一般根轨迹，n＝2，系统有两条根轨迹，起点为：，一条终止于，另一条终止于，两个极点两个零点为一个圆或者圆的一部分。实轴上[－2，0]上有根轨迹。下面分别计算分离点与会合点，即

则为分离点，不在根轨迹上，舍弃。

图4-3

（4）临界阻尼时ξ＝1，此时系统有两个相等的负实根，根据幅值条件得

3．设负反馈系统的开环传递函数为

作出系统的根轨迹图，并由根轨迹图分析在不同k*值下系统的阶跃响应曲线。[华中科技大学研]

解：系统的根轨迹如图4-4所示。系统的根轨迹为一圆，由分离点方程

解得：。

相应的k^*值为

当时，根轨迹在负实轴上，系统的单位阶跃响应曲线无超调，为单调上升的曲线。当时，根轨迹在复平面上，系统具有两个不相等的复数根，阶跃响应曲线有超调，为衰减振荡，当t→∞，趋于稳态值。

图4-4

4．已知闭环系统的特征方程为，画出系统的根轨迹图，并求出系统响应的过渡过程为单调变化和阻尼振荡时k的取值范围。[华中科技大学研]

解：系统的开环传递函数为

渐进线：

分离点与会合点

相应的k值为

根轨迹如图4-5所示。

图4-5

当31.25≤k≤32时，根轨迹在实轴上，系统过渡过程的是单调的；

当0＜k＜31.25和k＞32时，根轨迹有位于复平面的分支，过渡过程为阻尼振荡。

5．已知单位反馈系统的开环传递函数为。试完成：

（1）绘制系统的根轨迹图；

（2）确定系统稳定时K的取值；

（3）求出系统在单位阶跃输入下，稳态误差可能到达的最小绝对值。[华中科技大学研]

解：（1）令系统的开环传递函数为

其中，。

由分离点方程

解得

系统特征方程为

由劳斯判据，解得根轨迹与虚轴的交点，，相应的可得，根轨迹如图4-6所示。

图4-6

（2）由根轨迹可知：若系统稳定，则。因此，1＜K＜1.5。

（3）系统的静态位置误差系数在系统稳定的范围内

6．已知单位反馈系统的开环传递函数

（1）绘制当变化时系统根轨迹图（求出渐近线，分离点与虚轴交点）；

（2）确定开环增益K的取值范围，使系统满足以下条件：

（3）确定在单位斜坡输入下系统稳态误差的最小值。[西北工业大学2005研]

解：

渐近线：

分离点：

求出d＝－1

与虚轴的交点：

根轨迹如下图：

图4-7

（2）先考虑闭环极点全部位于实轴的情况，令，得到

再考虑闭环极点包含两个复数极点的情况，阻尼比ξ＝0.707与虚轴的夹角为

arcsin（0.707）＝45°

因此，可设等阻尼线ξ＝0.707与根轨迹相交处的闭环极点，由根之和得

。则

比较系数，解得

综合上述分析结果，得出时满足题目要求，从而的得出的取值范围为0.3472＜K＜0.728。

（3），临界稳定时

7．设负反馈系统中，前向通道的传递函数为，反馈通道的传递函数为H（s）＝1。

（1）绘制系统的根轨迹图，并判断闭环系统的稳定性；

（2）改变反馈通道的传递函数，使H（s）＝2s＋1，绘制系统的根轨迹图，判断闭环系统的稳定性，简述H（s）的这一变化对系统稳定性的影响。[中国科技大学2003研]

解：（1）系统根轨迹有四条渐近线，渐近线与实轴夹角分别为，渐近线与实轴的交点为

，根轨迹与虚轴无交点，绘出根轨迹如下图所示：

图4-8

从根轨迹可知，无论k＞0如何变化，始终有两条根轨迹位于右半平面，因此闭环系统不稳定。

渐近线有三条，渐近线与实轴的夹角分别为：；渐近线与实轴的交点为：，与虚轴的交点为：

绘制根轨迹如下图所示：

由根轨迹图可知，当0＜k＜22.75时，四条根轨迹都位于左半平面，闭环系统稳定。因此加入H（s）＝2s＋1，改善了系统的稳定性。

8．设单位负反馈系统的开环传递函数为

（1）绘制系统的根轨迹（不要求求出分离点）；

（2）已知系统的一个闭环极点为－0.9，试求出其余的闭环极点；

（3）该系统是否可以用低阶系统来近似？若能，求出它的闭环传递函数，若不能，给出理由。[中国科技大学2004研]

解：（1）系统的根轨迹有两条渐近线，渐近线与实轴夹角为：，与实轴的交点为：。根轨迹如下图所示。

图4-9

（2）已知：，设其他两个闭环极点为，则：

（3）和－z＝－1构成一对闭环偶极点，故系统可降阶为二阶系统。其闭环传递函数为：

9．已知系统结构图如图4-10所示。

（1）当a＝3时，画出从0变化到＋∞时的根轨迹，确定系统无超调时的取值范围及系统的临界稳定时的值；

（2）当时，画出a从0变化到＋∞时的根轨迹，确定系统时的a值。[西安交通大学研]

图4—10

解：（1）a＝3时，

为零度根轨迹。

n＝2，系统有两条根轨迹，起点为，一条终止于，另一条终止于无穷；实轴上[0，1]∪[3，＋∞）上有根轨迹；根轨迹如图4-11所示。系统无超调时，取[0，＋∞）时系统均无超调，临界稳定时。

图4-11

（2）为零度根轨迹，n＝2，系统有两条根轨迹。起点为，一条终止于，另一条终止于无穷；实轴上[0，＋∞）上有根轨迹。下面分别计算分离点和会合点，即

则为会合点，不在根轨迹上舍弃。根轨迹如图4-12所示。

图4-12

，此时不在根轨迹上。

10．负反馈系统开环传递函数为（其中，T为大于0的常数，k：0～∞）

（1）用时域分析法分析系统的稳定性，确定特征根的分布；

（2）以k为参变量绘制根轨迹，分析系统的稳定性，确定特征根的分布；

（3）绘制Nyquist曲线草图，分析系统的稳定性，确定特征根的分布。[华北电力大学（保定）2008研]

解：（1）系统的特征方程为

劳斯判据：

由特征方程得：不满足稳定的必要条件，为结构不稳定系统。由劳斯表可知，k＞0时，第一列元素符号翻转一次，则左、右平面各有一个闭环极点。

（2）根轨迹如图4-13（a）所示，左、右平面各有一个闭环极点，系统不稳定。

（3）Nyquist曲线如图4-13（b）所示，2N＝Z－P，P＝0，，Z＝1，左、右平面各有一个闭环极点，系统不稳定。

（a）根轨迹图；（b）

图4-13