2.3 有限增长的逻辑斯蒂模型和物种竞争模型

新古典经济学的柯布-道格拉斯生产函数可以转换成对数线性函数，这意味着新古典经济学的增长理论是没有资源限制和市场规模约束的无限增长。要研究有生态资源约束的增长，就必须发展非线性动态学。

2.3.1 经济动态学的有限和无限增长

亚当·斯密的《国富论》第三章的标题是“分工受市场规模的限制”（Smith，1776）。斯蒂格勒称之为“斯密定理” （Stigler，1951）。马尔萨斯（Malthus，1798）进一步指出人口增长受自然资源的限制。

斯密的市场规模限制和马尔萨斯的资源约束可以统一描述为非线性生态模型的“承载能力”（carrying capacity）N*。将生态模型引入经济学增长，我们需要改变相关变量的名称。在后面的讨论中，我们将把生态理论的原始名称用括号注明，放在相应的经济学变量之后，读者可以清楚地理解每个变量的生态学含义，以及相应的经济学含义。

从需求方看，n是买家的数量（人口数），N*是市场规模范围（人口规模边界），它是收入分配的函数。这里的市场规模与人口规模及可支配收入相关。

从供给方看，n是产出，N*是资源约束，它是既有技术和成本结构的函数。例如，历史上粮食生产的上限，可以通过灌溉技术和肥料的应用增加，也可以通过引入谷物或土豆等新作物增加。

最简单的有限增长模型是演化生态学中二次型的逻辑斯蒂模型（Pianka，1983）。

其中，n是产出量（人口数），N*是资源约束（人口规模），k是产出（人口）的增长率。

和新古典经济学静态不变的规模经济特性不同，逻辑斯蒂模型的动态规模经济特性是随时间变化的：在成长期报酬递增，在饱和期报酬递减，只有中间的转折点报酬不变。动态递增报酬：

动态递减报酬：

这里的动态规模经济在经济学上是增长量关于变量自身的边际值，dn/dt=△n，f′在数学上即△n关于n的导数。

逻辑斯蒂模型是最简单的非线性动态学形式。当f（n）不是二次函数时，转折点可能会偏离中点。

相比之下，新古典经济增长理论的AK模型没有资源约束的条件，只有固定的规模报酬。例如，新古典模型的稳定性条件只对报酬递减或报酬不变的模型成立。内生增长理论的知识积累模型则要求报酬递增。因此新古典企业理论不能理解规模报酬的变化（Daly and Farley，2010），也就无法理解技术或文明的兴衰。

逻辑斯蒂模型在生态学中也称为赫斯特（Hurst）方程（Pianka，1983）。它的离散时间形式可以产生最简单的决定论混沌（deterministic chaos）[6]。它的连续时间的微分方程的解构成S形曲线。图2-1为无限的指数增长和有限的逻辑斯蒂增长。

当我们把逻辑斯蒂模型引入经济理论中时，我们的分析单位就不是国家，而是技术或产业，因为每种技术或产业的规模是有限的。如果资源限制是可耕地，我们的分析单位也可以是地区或国家。在经验研究中，这意味着分析单位依赖于有关数据的市场范围或资源开发能力。

逻辑斯蒂增长的规律，可以清楚地从产业部门的数据考察中获得。一个典型例子是汽车产业产值在美国GDP中的比重，如图2-2所示（Chen，2010）。

我们可以看到美国汽车产业在1900—1920年间起飞，在1930年之前达到饱和阶段。S形增长曲线可以用来在部门分析中考察企业和产业的增长。

2.3.2 开放经济、市场份额竞争和过剩产能的源头

现在我们从一种技术拓展至多种技术的市场份额竞争。最简单的资源竞争模型是双物种竞争模型，即理论生物学中的Lotka-Volterra方程（Pianka，1983）。

和以前一样，我们把生态学的变量用括号表示，放在经济学变量之后。这里，n1和n2是技术或产品（物种）1和技术（物种）2的产出（人口）。N1和N2是它们的资源限制或市场规模限制（承载力）；k1和k2是它们的学习（人口增长）率；R1和R2是它们的退出（死亡）率；β是市场份额竞争的竞争（重叠）系数（0≤β≤1）。

这个公式可以通过引入“有效资源约束”（承载力）来简化：

这里，我们要强调新古典经济学与演化经济学关于技术发展的不同视角。一般均衡模型只考虑封闭经济的特征，如产品生命无限、种类固定的静态模型（Arrow and Debreu，1954）；新古典的动态模型把技术进步描写为随机创新，否认技术革命的突变和波状运动，当然也就否定技术革命引发经济危机的可能性（Aghion and Howitt，1992）。相比之下，人口动态学主要考虑以新技术引入新资源和新市场的开放经济。因此，非线性人口动态学更能反映具有间断性技术革命的工业经济。

我们的人口动态学描述了面对新资源时的学习竞争。这里的人口，指的是某种特定技术的使用者数量。我们用学习过程中的进入率和退出率来表示新技术的进入和退出速度。为从数学上简化，我们将进入率设定为二次形式，而将退出率设定为线性形式。这意味着技术竞争中，学习机制比退出机制更为重要。

退出率的含义可以在方程（1-3c）中看到。考虑一个农业发展的例子。如果粮食是人口唯一可以获得的食物，那么粮食的退出率R1=0，且C1=N1。然而，如果新食物（假设是土豆）被引入，一部分人口会从粮食转向土豆。因此退出率R1>0，且C1＜N1。存在新技术竞争时，有效资源约束会比没有竞争时的原始资源约束要少。换言之，单一技术会导致在资源开发上的竭泽而渔。发展多种技术可以降低单一资源的利用率，有利于生态系统的休养生息。

竞争系数β用同一资源的重叠比例来度量不同技术的竞争程度。β=0时，两物种之间在市场上或资源上都无竞争。两类技术都独立地完全扩张，直到达到其资源限制。现实的情形要复杂得多，例如农业和渔业在资源上通常很少竞争，但是在食物市场上会有竞争，因为多吃水产品就少吃了农产品。

在新古典经济学中，相对价格是资源配置的核心。在一个工业化经济中，市场份额是塑造产业结构的核心。我们可以用市场营销和产业分析中的市场份额数据来估计竞争系数。

技术代谢理论意味着新技术的产生和旧技术的衰落。技术竞争可能产生两种结果：（1）在（2-4a）条件下，旧技术被新技术取代；（2）在（2-4b）条件下，旧技术与新技术并存。

如果没有第二种技术n2的竞争，当n1=C1时，即达到有效承载率极限时，增长率为零。由此有效承载率显示的是物种数量的极限水平，即n1和n2的最大限度。但是，如果存在第二种物种的竞争，那么，资源的有效增长率将如以上公式所示。如果最大限度地考虑第二种物种的竞争，即第一种物种的数量接近为零，忽略n1对自己增长率的影响时，增长率的正负号将取决于C1-βn2，而n2的极限数量为C2。

因此，如果新技术的资源约束高出旧技术足够多，新技术将终结旧技术。

两种技术共存时，新旧技术都不能完全开发它们的潜在资源，因为它们的均衡产出小于它们的资源约束。创造性毁灭的成本是未实现的（过剩）产能。

例如，如果没有技术n2，技术n1将达到它的完全容量C1。技术n2加入市场份额竞争后，技术n1存在两种可能的后果：（1）技术1被技术2终结，因此，n1=0，n2=C2。创造性毁灭的成本是旧产能C1的全部损失。这就是在早期发展阶段手工纺织业被机器纺织业毁灭的情况。（2）旧技术和新技术并存，结果两种技术都存在过剩产能，（C1-n1*）>0且（C2-n2*）>0。

这里种群竞争模型刻画了市场份额竞争。例如，如果我们有电脑产业主要企业的市场份额数据，我们就可以将我们的模型应用于刻画营销竞争。如果我们有相关数据，我们也可以研究国家之间的军备竞赛。

奈特（Knight，1921）区分了可预见风险与不可预见的不确定性之间的差别。在新古典计量经济学中风险通过方差衡量。这里，我们拥有两种不确定性：新技术的出现时间和新技术的初始条件。因此，不可预见的不确定性的存在，使优化或理性预期不可能存在。路径依赖是技术发展的基本特征 （David，1985；Arthur，1994）。

凯恩斯经济学对总量有效需求不足的原因，没有给出结构理论。微观基础理论将宏观波动归因于微观家庭的劳动时间的涨落，这明显与大数原理不符，因为大量微观家庭的随机行为会互相抵消，不可能加总为大规模的宏观失业（Lucas，1981； Chen，2002）。我们的理论构造宏观经济周期的中观基础（meso-foundation），即工业化的技术代谢过程存在过剩产能。过剩产能观测到的成本包括大规模失业，这也就是物理学中典型的废热，或者叫经济熵（Georgescu-Roegen，1971）。处理过剩产能，是保护还是关闭夕阳产业？是投资创新产业还是补贴福利开支？代谢增长的趋势不会相同。

2.3.3 技术生命周期、逻辑斯蒂小波和代谢增长

产品生命周期的概念广泛用于经济学和管理学的文献（Vernon，1966；Modigliani，1976）。我们把生命周期的概念用于分析技术的生命周期。传统上生命周期现象可以描述为多阶段模型。线性动态模型，例如谐振子无限长的生命周期波动或脉冲式的白噪声模型，都无法刻画生命周期，因为生命周期是典型的非线性现象。具有有限生命的逻辑斯蒂小波是刻画技术生命周期最简单的非线性表象。熊彼特长波和创造性毁灭可以用技术竞争模型的一系列逻辑斯蒂小波来描述。

方程（2-4）的数值解用图2-3表示。

小波表象可以用于分析任何产品、企业、技术和国家的生命周期现象（Eliasson，2005）。经济计量学多用离散时间的线性动态学模型来刻画生命周期（Browning and Crossley，2001）。我们的小波模型是连续时间的非线性动态学模型。产品生命周期的逻辑斯蒂小波的时间尺度介于（宏观常用的）几个月和（康德拉季耶夫长波的）几十年之间。

2.3.4 逻辑斯蒂小波四阶段资本和制度的共生演化

代谢增长模型为资本运动和制度伴随技术波起落的共生演化（co-evolution）提供了理论框架。我们可以将逻辑斯蒂波分为四个阶段：幼稚期、成长期、成熟期和衰退期。

新古典理论将资本视为平稳增长的存量，不能解释经济周期和危机复发的内在原因。

小波模型提供了一个资本运动和政策变化的内生机制。我们引进生命周期来描述技术产业小波的四个阶段，如图2-4所示。

在幼稚期即第一阶段，新技术要存活必须跨越某个临界值（survival threshold）。新技术的规模在达到临界值之前难以存活，所以需要知识产权和对外贸易对于幼稚产业的保护。由于此阶段极大的不确定性，私人投资者往往不愿冒险投资新技术。这使新技术的研发主要由公共部门和非营利的大学发起。例如，互联网和GPS系统就是首先由大学和国家实验室为军事目的开发的，后来才转向商业用途。

在成长期即第二阶段，新技术显示其市场潜力，私人资本涌入，市场份额迅速扩张，新发行的股票价格飞涨。在这一阶段，市场竞争是市场扩张的驱动力。然而，要维护建设性的竞争环境，安全和环保标准以及金融管制都是必要的。因为羊群行为（herd behavior）可能引发市场扩张期的动荡，例如2000年的互联网泡沫。

在成熟期即第三阶段，企业利润下降，产业集中度提高。垄断竞争可能阻滞新发明的出现。推行反垄断（anti-trust）法有助于防止市场集中和市场操控。我们发现美国20世纪80年代推行自由化政策后，在2000年前后形成了产业集中趋势，包括电子通信、计算机、软件、航空、银行和零售业等行业都出现了寡头垄断。2008年的金融危机根源于金融寡头挤出实体经济的“美国病”（Johnson，2009；Chen，2010）。

真正的挑战发生在衰退期即第四阶段。一些夕阳产业挣扎求存或破产终结，过去的投资变成巨大损失。股票价格下跌，融资成本上升。是继续投资救命还是壮士断腕（cut-loss strategy），这样艰难的抉择是老产业面临生死去留的问题。即使关闭夕阳产业，带来的大规模失业也需要政府援助，从夕阳产业到朝阳产业的就业转型也需要协调私人和公共部门之间的合作。英国煤炭产业就是典型的案例，煤炭业是英国18世纪工业革命的动力，但在20世纪80年代，英国煤矿全面亏损，不得不关闭许多矿井。政府鼓励幼稚期新技术的推广，重新培训技术过时的失业工人，类似的产业政策和教育政策对经济复苏当然是有益的。传统的货币政策和凯恩斯主义的财政政策不足以应对这一阶段的结构性调整。社会冲突和战争很可能发生在这一阶段。

同样的道理，制度安排必须适合技术生命周期不同阶段的要求。单靠市场力量不能确保经济的健康发展，因为技术新陈代谢的过程中会产生大量的社会不稳定，并强烈冲击生物的多样性。用交易成本理论来反对监管会误导经济政策，因为工业化过程中生态系统是否可持续发展，不能仅仅通过最小化熵（废热耗散或交易成本的大小）来判断。举例来说，金融自由化表面上似乎降低了交易成本，但是放松对金融投机的监管带来的金融危机，损失超过10万亿美元，对实体经济的损害远超过金融市场的交易成本。可见，问题不在于大政府还是小政府；真正的挑战在于处理混合经济的复杂性和稳定性时，政府是有效还是无能。市场规制的选择机制是制度演化的核心问题。