第三节 标准不确定度的合成

对测量不确定度分量按两类方法评定之后，还要考虑如何综合众多分量对测量结果分散性总的影响。解决这个问题的思路是来自于求多个随机变量之和的方差性质。要正确理解并用好测量不确定度的合成公式，特别涉及分量间相关问题的处理，也涉及合成标准不确定度的自由度估计方法。间接测量的不确定度传播，可视为测量不确定度合成问题的一个扩展情形。

一、合成标准不确定度

（一）合成公式

影响测量结果有若干个分量时，如何评定其测量结果的标准不确定度呢?根据多个随机变量和方差性质：若ζ= ζ₁+ζ₂+…+ζ_m，则有

式中 D(ζ₁) ，D(ζ₂)，…，D(ζ_m)——各随机变量；

D（ζ）——各随机变量和的方差；

ρ_ij——两变量ζ_i与ζ_j的相关系数。

现将这种对随机变量方差求和的性质扩展为对不确定度分量求和的情形，称其为如下的广义方和根法合成公式

式中 u₁，u₂，…，u_m——各不确定度分量；

u_c——各不确定度和的标准差；

ρ_ij——两分量u_i与u_j的相关系数。

如何理解以上公式的意义呢?这里讨论m=2的几个特殊情形，

当ρ₁₂=1，有u_c=u₁+u₂；当ρ₁₂=-1，有u_c=|u₁-u₂ |；当ρ₁₂=0，。

这个公式用于解决测量结果评定中，求有多个测量不确定度分量的合成标准不确定度问题。为正确而合理地用好这个公式，需要注意处理好以下三个问题：

1）正确分析所讨论的测量结果问题中究竟有多少个影响该测量结果的分量?哪些是主要的分量?这些主要分量既不能遗漏，也不能重复计入。如果遗漏了，则会把测量结果的不确定度估计小了；如重复计入了，则会把测量结果的不确定度估计大了，总之都会影响对测量结果的评价质量。还要特别说明，应当计入合成的这些分量不仅是指那些肯定影响结果的输入量，还包括所有的影响量。

2）要注意这些分量之间的相关性。特别当分量间完全相关时，各分量间按标准不确定度代数和法合成，否则按标准不确定度方和根法合成。显然，从减小合成的不确定度角度考虑，分量间负相关好于正相关；从处理合成计算便利考虑，不相关（独立)好于相关。从分析处理便利出发，尽可能创造条件，把合成问题化为分量间不相关的情形来处理。

3）参与合成的各分量是指直接“贡献”给被测量测量结果的输入量、影响量，如果它们与被测量在量纲单位或尺度上存在一个传播系数（因子)的关系，则必须计入。式（4-16)中各项分量的量值都已经认为计入了这个传播系数（因子)。关于这个问题，请注意后面还要提到的间接测量问题的不确定度传播公式。

（二）相关系数

实际工作中，常用以下统计公式估计两变量或不确定度分量x_i与x_j的相关系数

为求得相关系数ρ_ij，需要先分别对两个变量（x_i，x_j）同时采样m个数据对（x_ik，x_jk）（k=1，2，…，m），然后按上式计算出ρ_ij的估计值。

如果遇到缺少样本数据，或者样本数据偏少的情形，也可采用如下的一种非统计的实验估计方法，来估计它们的相关系数

当X_i在x_i处改变δ_i时，造成X_j在x_i处相应改变δ_i，再分别用各自的标准不确定度来进行归一化并相除得到的比例。

计算和确定相关系数是比较复杂的事情。有时，为简化不确定度的合成计算，可以设法合并诸相关量，以避开相关系数的计算，即全部ρ=0的情形，或者简化为完全相关，即ρ=1的情形。以下分这两种情形，介绍根据测量条件和经验进行分析判断的方法。

1.ρ=0的情形

1）两分量相互独立或不可能相互影响。

2）一分量增大或减小时，另一分量可正可负。

3）不同体系产生的分量，例如人员引起的分量与温度引起的分量。

4）两分量虽相互有影响，但确认其影响甚微。

2. ρ=1的情形

1）两分量间有正线性关系。

2）一分量增大或减小时，另一分量也增大或减小。

3）同一体系产生的分量，例如用一米基准尺测两米尺，则该基准尺的不确定度引起两个一米的分量ρ=1。

4）两分量间近似正线性，简化取ρ=1。

（三）有效自由度

如何评价合成标准不确定度的可靠程度呢?类似于评定标准不确定度的可靠程度同用自由度的方法一样，这里用有效自由度ν_eff的方式来评定。假设被测量有m个影响测量结果的分量，记为X=X₁+X₂+…+ X_m，当各分量Y_i均为正态且分布相互独立时，有如下著名的韦尔奇-萨特思韦特(Welch-Satferthwaite)公式，可用它来计算其合成标准不确定度的有效自由度ν_eff。

例9：某测量结果含5个不确定度分量，每个分量的大小及自由度信息见表4-5，它们之间的协方差均为零，求其合成标准不确定度、有效自由度。

解：列表计算如下

二、间接测量问题的合成标准不确定度

实际测量工作中还常常遇到间接测量问题。如果被测量Y是m个输入量X₁，X₂，…，X_m的函数，Y=F(X_l，X₂，…，X_m)、各X_i间可能彼此相关。y是Y的估计值，x₁，x₂，…，x_m。分别是X_l，X₂，…，X_m的估计值，则如何来估计间接测量结果y=F(x₁，x₂，…，x_m)的合成标准不确定度呢?

注意到，如果记，u（x_i）视为 x_i的线性增量，则 u（y_i）可视为直接“贡献” 于被测量Y在y_i处的一个不确定度分量，于是有一阶近似后的y影响量是m个影响分量的代数和，记为y=y_l+y₂+…+y_m。根据式（4-16 ）即可得到如下的估计间接测量结果y=F（x₁、x₂、…、x_m）的合成标准不确定度公式。

式中 在X=x_i处的值，又称为灵敏系数，也有的称其为传播系数，在不易误解的情形可简记为（c_i）；

u(x_i)——输入量估计x_i的标准不确定度；

ρ_ij——X_i和X_j分别为x_i和x_j处的相关系数，而其相应的协方差u(x_i，x_j)=ρ_iju(x_i)u（ x_j）。特别当均为1的情形，即有m个影响量直接影响y的情形，有y=y_l+y₂+…+y_m，故可以视式（4-16）是式（4-20）的特例。

实际测量中，还会遇到一些复杂的情形。例如，测量模型极为复杂，难以导出不确定度的合成公式中的偏导数系数时，或者其中一些相关项不宜忽略又难确定时，需要借助微型计算机辅助不确定度仿真分析技术，给出对测量不确定度的定量估计。

以下列出几种常见的间接测量函数模型：

1）设， X_i间不相关，有

2）设， X_i间不相关，有

3）设Y=F（X_l，X₂，…，X_m)，X_i间相关系数ρ_ij=1，有

例10：评定某千分尺的测量不确定度，并设计其校准方案。

解：在车间检验室，20℃±5℃的环境条件下，根据提供的可能影响该千分尺测量结果的因素及其不确定度分量u(x_i)，均考虑灵敏系数c_i后，折算为对测长结果影响，认为它们之间的联系是不相关的。最后，把以上诸因素及其评定结果均列于表4-6中。另外，将该千分尺分别用一级量块和零级量块进行校准，设计的两个校准方案中，应当考虑的主要不确定度源及其评定结果分别见表4-7和表4-8。