2.1.2　导数的定义

定义1　设函数y=f（x）在点x0的某邻域内有定义，当自变量x在点x0处取得增量Δx（点x0+Δx仍在该邻域）时，相应的函数y取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0），如果极限

存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，极限值称为函数y=f（x）在点x0处的导数，记作f′（x0），即

函数y=f（x）在点x0处的导数也可记为

上述极限中，若令x=x0+Δx，则当Δx→0时，x→x0，导数还可以表示为

如果记Δx=h，导数也可表示为

函数f（x）在点x0处可导也可以说成函数f（x）在点x0处导数存在或具有导数.

如果函数y=f（x）在开区间（a，b）内的每一点都可导，则称函数f（x）在开区间（a，b）内可导，即对任何x∈（a，b），有

这样对于开区间（a，b）内的每一个确定的x都对应着一个确定的导数f′（x），这就构成了一个新的函数，称为导函数（简称为f（x）的导数）.记作f′（x），y′，

而f′（x0）为导函数f′（x）当x=x0时的函数值，即

例1　　设f′（x0）存在，求极限

下面利用导数的定义来求一些简单函数的导数.

例2　　求函数f（x）=C（C是常数）的导数.

解　

即（C）′=0.

例3　　求函数f（x）=xn（n∈N+）在x=a处的导数.

解　　由定义有

推广可得

（xn）′=nxn-1.

更一般地，有

（xμ）′=μxμ-1　（μ为实数）.

例4　求函数的导数.

例5　求函数的导数.

例6　求函数f（x）=sinx的导数.

解　由定义有

类似可得

（cosx）′=-sinx.

例7　求函数f（x）=ex的导数.

解　由定义有

即　　（ex）′=ex.

类似可得　　（ax）′=axlna.

例8　求函数f（x）=lnx的导数.

解　由定义有

定义2　如果y=f（x）在（x0-δ，x0]有定义，若左极限

存在，则称函数f（x）在点x0左侧可导，并把上述左极限称为函数f（x）在点x0的左导数，记作f′-（x0），即

类似地可以定义函数f（x）在点x0的右侧可导及右导数

由极限存在的条件，有

性质　函数f（x）在点x0可导的充分必要条件是在点x0的左、右导数都存在并且相等，即

f′（x0）存在⇔f′-（x0）=f′+（x0）.

由单侧导数可以定义函数在闭区间[a，b]上可导.如果函数f（x）在开区间（a，b）内可导，且在a点的右导数存在，在b点的左导数存在，则称函数在闭区间[a，b]上可导.

例9　讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性.

因此不存在，故f（x）=|x|在x=0处不可导.

例10　设函数

判别f（x）在x=1处是否可导.

解　由于

所以f（x）在x=1处不可导.