1.4.1　函数极限的定义

设函数f（x）的定义域为D，考察函数f（x）的极限就是考察自变量x在其定义域D内变化时，相应的函数值f（x）的变化趋势.考虑到函数的定义域的各种形式，自变量x的变化趋势有些复杂，本节主要研究以下两种情形：

（1）自变量x任意趋于x0，且x≠x0，简记为x→x0.它有两种特殊情形：

①自变量x从x0的右侧趋于x0即x>x0，简记为

②自变量x从x0的左侧趋于x0即x<x0，简记为

（2）自变量x的绝对值|x|无限增大，称作x趋向于无穷大，简记为x→∞.它也有两种特殊情形：

①自变量x沿数轴正方向趋于无穷大，简记为x→+∞；

②自变量x沿数轴负方向趋于无穷大，简记为x→-∞；

本小节分别从以上两种情形研究函数f（x）的极限.

1.当x→x0时函数f（x）的极限

所谓“当x→x0时函数f（x）的极限”，就是研究当自变量x无限趋于x0时，函数f（x）的变化趋势.先看下面两个例子.

例1　考察函数当x→2时的变化趋势.

解　函数的定义域为（-∞，+∞），图1-4表示的是函数的几何描述.也可用数据描述，如表1-2所示.

从表1-2可以看出，无论x从2的左侧还是右侧无限趋于2时，函数都无限趋于3，这时，称3为函数当x→2时的极限.

例2　考察函数时的变化趋势.

解　函数的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），几何描述如图1-5所示，数据描述如表1-3所示.

从表1-3可以看出，当x无论从1的左侧还是右侧无限趋于1时，函数f（x）=无限趋于2，称2为函数时的极限.

从例1、例2不难看出，当自变量x无限趋于某一个定值x0时，函数f（x）的值无限趋于某一确定常数A，称常数A为函数f（x）当x→x0时的极限.

为了给出函数极限严格的数学定义，先介绍邻域的概念.

定义1　（1）设a与δ是两个实数，且δ>0，数集{x||x-a|<δ}称为点a的δ邻域，记作U（a，δ），点a称为邻域中心，δ称为邻域半径，有

U（a，δ）={x|a-δ<x<a+δ}.

所以U（a，δ）就是开区间（a-δ，a+δ），如图1-6所示.

（2）在U（a，δ）中去掉邻域中心a后得到的数集{x|0<|x-a|<δ}称为点a的去心δ邻域，记作（a，δ），有

（a，δ）=（a-δ，a）∪（a，a+δ），

所以 就是两个开区间的并集，如图1-7所示.

（3）开区间（a-δ，a）称为点a的左δ邻域，开区间（a，a+δ）称为点a的右δ邻域.

下面给出函数极限的严格的数学定义.

定义2　设函数f（x）在点x0的某一去心邻域内有定义.如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时，对应的函数值f（x）都满足不等式

|f（x）-A|<ε；

则称常数A为函数f（x）当x→x0时的极限，记作

注　（1）函数f（x）在x0处的极限刻画了当自变量x趋于x0时函数f（x）的变化趋势，与函数f（x）在x0处是否有定义无关，因此只要求函数f（x）在点x0的某一去心邻域内有定义即可，不需要考虑函数f（x）在x0处是否有定义.而条件0<|x-x0|<δ则表示自变量x落入x0的去心δ邻域内.

（2）ε刻画函数f（x）与常数A的接近程度，δ刻画x与x0的接近程度，ε是任意给定的，δ相当于数列极限定义中的N，它依赖于ε，一般来说，ε越小，δ也相应地要小.

（3）函数f（x）在x0处的极限的几何意义：对于任给ε>0，坐标平面上以y=A为中心线，宽为2ε的窄带，可以找到δ>0，使得x∈（a，δ）时，曲线段y=f（x）落在窄带内，如图1-8所示.

例3　证明.

证　由于|f（x）-A|=|x-x0|；对于任意给定的ε>0，要使

|f（x）-A|=|x-x0|<ε；

取δ=ε.

当0<|x-x0|<δ时，有|f（x）-A|=|x-x0|<ε，所以.

例4　证明.

证　由于　　|f（x）-A|==

因为x→1，不妨限制x属于0<|x-1|<1，即0<x<2，且x≠1，则有

对于任意给定的ε>0，要使

只要

这里取δ=min{2ε，1}.

则当0<|x-1|<δ时，便有 ，所以 .

由定义2不难得出下列函数的极限：

（1）=C（C为常数）；　　（2）x=0；

（3）x=1；　　（4）=1，=1　（a>0且a≠1）.

在x→x0时函数f（x）的极限定义中，x既是从x0的左侧也是从x0的右侧趋于x0的，但有时只能或只需考虑x仅从x0的左侧趋于x0（即）的情形，或x仅从x0的右侧趋于x0（即）的情形，这时只要将的定义作适当改变即可.

定义3　设函数f（x）在x0的某一右邻域内有定义.如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<x-x0<δ时，对应的函数值f（x）都满足不等式

|f（x）-A|<ε；

则称常数A为函数f（x）当x→x0时的右极限，记作

定义4　设函数f（x）在x0的某一左邻域内有定义.如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式-δ<x-x0<0时，对应的函数值f（x）都满足不等式

|f（x）-A|<ε；

则称常数A为函数f（x）当x→x0时的左极限，记作

左极限和右极限统称为单侧极限.容易看到，单侧极限只是极限的特殊情形，如果当x→x0时函数f（x）的极限是A，则它的左右极限也应该是A，反之也成立.

定理1　 成立的充分必要条件是

由定理1知，如果函数f（x）在x0处左极限和右极限中至少有一个不存在或都存在但不相等，那么函数f（x）在x0处的极限是不存在的.

例5　设函数，求极限f（x），f（x），f（x）.

解　当x>0时，|x|=x，则

当x<0时，|x|=-x，则

因为，由定理1得不存在，如图1-9所示.

例6　讨论函数

当x→0时f（x）的极限.

解　当x<0时，f（x）=x-1，则函数f（x）的左极限

当x>0时，f（x）=x+1，则函数f（x）的右极限

因为左极限和右极限存在但不相等，所以当x→0时f（x）的极限不存在，如图1-10所示.

2.当x→∞时函数的极限

数列是自变量取自正整数的函数，即an=f（n），数列的极限就是研究函数f（x）当自变量x跳跃式地按1，2，3，…，n，…的顺序无限变大时函数值f（x）的变化趋势.下面将这种特殊函数的极限形式推广到自变量x取实数时的一般函数f（x）.

例7　考察函数当x→∞时的变化趋势.

解　函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），当x无限增大时，即在x→+∞及x→-∞的这两个过程中，都有对应函数值无限趋于常数0，如图1-11所示.

从例7不难看出，当自变量x趋于无穷大时，函数f（x）的值无限接近于某一确定常数A，则称常数A为函数f（x）当x→∞时的极限.

定义5　设函数f（x）当|x|大于某一正数时有定义.如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数X，使得当x满足不等式|x|>X时，对应的函数值f（x）都满足不等式

|f（x）-A|<ε；

则称常数A为函数f（x）当x→∞时的极限，记作

注　函数f（x）在x→∞时的极限的几何意义：对于任给ε>0，坐标平面上以y=A为中心线，宽为2ε的窄带，可以找到X>0，使得|x|>X时曲线段y=f（x）落在窄带内，如图1-12所示.

在定义5中，x→∞的方式是任意的，|x|既可沿x轴负方向无限增大，又可沿x轴正方向无限增大.类似左、右极限，有下述定义.

定义6　设函数f（x）当x大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数X，使得当x满足不等式x>X时，对应的函数值f（x）都满足不等式

|f（x）-A|<ε；

则称常数A为函数f（x）当x→+∞时的极限，记作

或f（x）→A（当x→+∞）.

定义7　设函数f（x）当-x大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数X，使得当x满足不等式-x>X时，对应的函数值f（x）都满足不等式

|f（x）-A|<ε；

则称常数A为函数f（x）当x→-∞时的极限，记作

或f（x）→A（当x→-∞）.

例8　证明：.

证　由于　　

对于任意给定的ε>0，要使

即

取 .

当|x|>X时，，所以

是三个不同的极限概念，也有与定理1类似的结论.

定理2　成立的充分必要条件是

例9　讨论极限是否存在.

解　由函数f（x）=arctanx的图形（如图1-13所示）知

由于极限 都存在，但不相等，由定理2知，极限 不存在.

直线是函数f（x）=arctanx的水平渐近线.

一般地说，如果，则称直线y=C是函数y=f（x）的图形的水平渐近线.