1.3 岩石边坡稳定性概率分析方法简单回顾

Casagrande早在1965年就指出在岩土工程做决策时应该平衡风险（risk）和成本（cost），尽管他提出的“计算风险”（calculated risk）主要是基于经验的判断，但是这已经是概率思想在岩土工程中应用的萌芽。20世纪70年代早期，概率理论正式被引进到岩土工程，一些研究者（McMahon, 1971&1975）开始利用概率方法来研究节理岩石边坡的稳定性。岩石边坡稳定性概率分析方法主要有图解法、Monte Carlo模拟方法、一次二阶矩法等（Park,1999）。

McMahon（1971）仅将结构面产状作为随机变量，主动力仅考虑重力，忽略地下水等其他可能存在的外力，仅考虑结构面的摩擦力，忽略黏聚力，重力和摩擦角均作为不变量，利用赤平投影图求节理边坡的单面滑动失稳概率。虽然这一方法有很大的局限性，但是在那个个人计算机还未开始普及的年代，利用图解法研究节理边坡的失稳概率可以认为是开拓性的工作。Markland（1972）提出一种分析节理边坡稳定性的图解方法，被称为Markland测试。Markland测试完全是一种确定性分析方法，它不但可以考虑单面滑动，而且可以考虑楔形体滑动。在笔者看来，现有使用较广泛的运动学概率分析软件（RockWare,2013; Rocscience,2013; Admassu, et al., 2013）均是基于Markland测试，再结合McMahon（1971）的概率思想而编制的。McMahon于1975年进一步提出平面失稳的三个条件，并提出了根据坡高和节理迹长来估算失稳块体体积的方法。

Monte Carlo模拟方法（Ang et al.,1984; Baecher et al.,2003），是一种依据统计抽样理论，利用计算机研究随机变量的数值计算方法。理论上，Monte Carlo模拟方法能够应用到任何有确定性模型的问题中。随机抽取参数输入确定性模型中，通过重复计算获得每组参数的安全系数，最终的失稳概率为安全系数小于1的数量占总数的比例。20世纪70年代末期，有研究者（Kim et al.,1978）利用Monte Carlo模拟方法来研究节理边坡的失稳概率。80年代开始，Monte Carlo模拟方法被广泛应用，Kulatilake等（1985）和Muralha（1991）利用它研究楔形体失稳概率；Esterhuizen（1990）联合Monte Carlo模拟和点估计来评价楔形体的失稳概率。90年代开始，随着个人计算机的日益普及，出现一大批基于Monte Carlo模拟方法的节理边坡概率分析程序（Carter et al.,1992; Leung et al.,1995; Feng et al.,1998; Sonmez et al.,1998; RockWare,2013; Rocscience,2013; Admassu et al.,2013）以及工程应用（江永红，1998; Gokceoglu,2000; Park et al.,2001; Park et al.,2005；于莉，2011；拜亚南等，2013；李侃等，2014）。Monte Carlo模拟方法使用任意数量的随机变量，不需进行复杂的理论推导，思想简单、容易理解和接受，而且只要模拟次数达到一定数量就可以认为是一种比较精确的方法。当今随着计算机硬件的高速发展，Monte Carlo模拟方法进行多次抽样所需机时减少，收敛速度加快，在计算次数增大到一定程度后，计算误差降低到可以忽略不计，这就使得Monte Carlo模拟方法在计算失稳概率方面更加方便有效。但是需要指出的是Monte Carlo模拟中的随机变量都假定为相互独立的，然而实际上有些变量之间存在一定的关系，如一般认为内摩擦角和黏聚力是负相关的。

一次二阶矩（first-order second-moment, FOSM）是广泛应用于边坡稳定性概率分析的另一种重要方法。它的基本思想是利用输入随机变量的一阶原点矩（均值）和二阶中心矩（方差）求出极限状态函数的一阶原点矩和二阶中心矩，并定义可靠度指标β，用以评价边坡的可靠性（王家臣，1996）。Monte Carlo模拟一般需要知道随机变量的理论分布形式，而FOSM只需要获得随机变量的均值和方差，不需要知道随机变量的具体分布形式。FOSM比较适合应用于小概率失稳，因为这种情况下利用Monte Carlo模拟需要重复的次数非常庞大（Park,1999）。Trunk（1993）利用FOSM法研究由两个结构面构成的楔形体的稳定性，并指出其分析过程简单、快速。Muralha等（1993）对比了Monte Carlo模拟法和FOSM法分析岩石边坡稳定性的效果。Genske和Walz（1991）在边坡稳定性分析过程中利用FOSM分析多个不同的功能函数，并指出一些结构面参数控制着某种失稳模式的失稳概率。Chen等（2007&2012）基于块体理论利用FOSM和可靠度指标技术来确定岩块的可动性和失稳概率。范雷等（2008）利用FOSM法研究斜坡的稳定性，为了避免状态函数偏导数的求解困难，采用二元函数插值逼近原理，在矩形区域上构造拉格朗日不完全双二次多项式逼近状态函数，从而近似地计算状态函数的偏导数，求得状态函数的均值和方差。当随机变量较多时（如楔形体失稳分析）, FOSM在数学推导方面非常困难。此外，FOSM只能提供安全系数的均值和方差，不能提供安全系数的完整分布形式（Park,1999）。

此外，近年来一些用于结构可靠度的分析方法也被引入边坡可靠度分析中，如响应面法（Wong,1985；苏永华，2006；谭晓慧等，2005；李典庆等，2010；程晔等，2010）、拉丁超立方体抽样法（吴振君等，2010；于莉，2011；马建全等，2011）、贝叶斯统计法（张社荣等，1999；李东利等，2013）等。

以上边坡概率分析方法或可靠度分析方法均基于极限平衡分析、运动学分析或者块体理论分析，本质上讲都是利用传统的极限平衡分析计算安全系数。Zienkiewicz等（1975）提出了强度折减的概念，之后不少学者（Duncan, 1996; Griffiths et al.,1999；郑颖人等，2002；赵尚毅等，2002；邓建辉等，2004a&2004b；陈菲等，2006；雷远见等，2006；黄盛铨等，2008; Wei et al.,2009）将强度折减思想与有限元、有限差分、离散元、非连续变形（discontinuous deformation method, DDA）相结合，采用确定性方法来研究边坡的稳定性。于是，一些研究者（祝玉学等，1992；刘宁和卓家寿，1995; Paice,1997; Griffiths et al.,2000&2004；谭晓慧等，2007b；高荣雄等，2009；谭晓慧等，2007b）结合强度折减思想与随机概念提出了随机有限元、强度折减可靠度分析等方法。这些方法还处于发展早期阶段，离应用于边坡工程设计还有一定的距离。