第五节　间接测量的数据处理

被测量y与其他量有函数关系，测量结果由函数计算而得

y=f（x1，x2，…，xn）　　（2-14）

在这种情况下，数据处理程序如下。

（1）用直接测量的数据处理方法分别计算出和ui。即由式（2-5）计算出，由式（2-11）计算出ui。

（2）计算出y的最佳估计值。

（3）计算出y的合成标准不确定度uc（y）及扩展不确定度U。

（4）写出结果表达式。

一、间接测量的最佳值

首先用直接测量的数据处理方法计算出和ui，然后将各代入式（2-14）中，得到

作为间接测得量y的最佳估计值。由于具有不确定度，所以由上式得到的y-也必然具有不确定度。或者说，由于具有分散性，所以也具有分散性，表征这一分散性的参量就是合成标准不确定度，以uc（y）表征。

二、合成标准不确定度的评定

y-的不确定度来源于所有的不确定度，也就是的标准不确定度是由各直接测得量x1，x2，…，xn的标准不确定度u1，u2，…，un适当合成而求得。当全部直接测得量xi彼此独立时，y-的合成标准不确定度由下式给出

式（2-16）称为不确定度传播律。式中就是函数y=f（x1，x2，…，xn）在时的偏导数，这些偏导数称为灵敏系数，记为ci，即，它表示被测量估计值随直接测得值变化而变化的程度。即当有微小变化Δxi时，值相应变化为（Δy）i=，如果这个变化Δxi来自的不确定度ui，则的相应变化就是

是的一个分量，它表示第i个直接测得值的不确定度ui对的不确定度所做的贡献。

的扩展不确定度为合成标准不确定度乘以包含因子k，若取k=2，则有

如果函数f的表现形式为

两边取自然对数

lny=lnc+p1lnx1+p2lnx2+…+pnlnxn

按不确定度传播律，有

如果指数pi只是+1或-1，则上式成为

式（2-19）说明，当y是xi的乘除运算结果时，则的相对不确定度是各的相对不确定度的方和根。例如一长方体的体积V=lbh，则V的相对合成标准不确定度为

三、间接测量的结果表达式

由式（2-15）得到，由式（2-17）得到，则测量结果表达式为

还可以写成

下面对式（2-20）做几点说明。

（1）式（2-20）表明被测量值以较大概率处在（，）区间之内。当k=2，这个概率可望达到95％以上。

（2）扩展不确定度U只取1位有效数字，当U的首位数是1或2时可取两位有效数字，的末位与U所在数位对齐。相对扩展不确定度取2位有效数字。在U的合成运算中，其不确定度分量或标准不确定度至少应多保留1位数，以避免由于数字修约导致新的不确定度。当然，用计算器进行运算时，则不会出现这样的问题。

四、间接测量的数据处理举例

【例2-4】被测量y=x1+x2，已知x1=（400±4）mm，x2=（32.1±0.3）mm，求和并写出测量结果表达式。

解　

因为0.3≪4，可视为微小量而忽略。

结果表达式为　　　　　　　　y=（432±4）mm

【例2-5】被测量，已知x1=（200±4）m，x2=（25±3）m，x3=（10±1）m，

求（1）；（2）；（3）写出结果表达式。

解（1）

（2）这是一个连乘连除的函数，它的相对不确定度等于各参量的相对不确定度的方和根

因为，可视为微小量而忽略，所以

一般情况下，可取1～2位有效数字，的末位与所在位对齐，由，则

可见，在十位上，的有效数字的末位也应取到十位上。即

（3）结果表达式为

或　　

【例2-6】　在20℃条件下，用一级千分尺测量某金属圆柱体的体积，测量数据如下

di/cm：1.0071，1.0073，1.0069，1.0078，1.0070，1.0074

hi/cm：2.0105，2.0110，2.0108，2.0112，2.0104，2.0100

体积计算公式为，试写出测量结果表达式。

解　将di输入计算器，经统计运算得到，S（di）=0.00033cm

将hi输入计算器，经运算得到，S（hi）=0.00044cm

由测量重复性导致的不确定度分量

由千分尺准确性导致的不确定度分量，可根据千分尺的最大允许误差求出，按GB1216—75规定，量程为25mm的一级千分尺，其最大允许误差Δ仪=0.004mm，其标准不确定度为

直径的标准不确定度为

高的标准不确定度为

体积的最佳估计值为

π取到小数点后第5位，避免了因π的取位过少而产生新的不确定度。的相对合成标准不确定度为

的相对扩展不确定度为

结果表达式为

V=1.6021（1±0.11％）cm3，k=2

上式中取到小数点后第4位数，因为扩展不确定度的末位就在小数点后第4位上。即

结果表达式还可以写成

V=（1.6021±0.0017）cm3，k=2