1.2.2 内模控制的设计

对于IMC系统，只要令Q（s）=M -1（s），即可获得理想的设定值跟踪和完全的干扰抑制效果。在理想情况下，这种完全确定的控制器甚至不需要进一步整定控制器参数。此时，内模控制器设计与确定前馈控制器相似。然而，理想控制器性质常难以获得，其原因在于：

（1）过程含有时滞特性，则Q（s）=M-1（s）中含有纯超前项，这在物理上难以实现，不符合因果律。

（2）若过程模型含有右半平面（RHP）零点，则控制器Q（s）中就有RHP极点，控制器本身不稳定，因而闭环系统也不稳定。

（3）过程模型M（s）严格有理，则理想控制器Q（s）=M-1（s）非有理，即

也就是说，如果M（s）的分母多项式的阶次比分子多项式的阶次高N阶，则控制器中将出现N阶微分器，尽管它在数学上是成立的，但N阶微分器对于过程测量信号中的噪声极为敏感，因而不切实际。

（4）采用理想控制器构成的系统，对于模型误差极为敏感，若P（s）≠M（s），则无法确保闭环系统的鲁棒稳定性。

为解决上述4个问题，在设计内模控制器时应分为两步进行。首先设计一个稳定的理想控制器，而不考虑系统的鲁棒性和约束；其次引入滤波器，通过调整滤波器的结构和参数来获得期望的动态品质和鲁棒性。内模控制器的设计分为两步。

步骤1：过程模型M（s）的分解

M（s）可分为两项：M+（s）和M-（s），即

M（s）=M+（s）M-（s）

其中，M+（s）为模型中包含纯滞后和不稳定零点的部分，M-（s）为模型中的最小相位部分。

步骤2：IMC控制器设计

在设计IMC控制器时，需在最小相位M-（s）的逆上增加滤波器，以确保系统的稳定性和鲁棒性。定义IMC控制器为

式中，f（s）为低通滤波器，选择f（s）的目的之一是使Q（s）变为有理，通常选用以下形式

式中，r应选择足够大以保证Q（s）的可实现性，λ为滤波器时间常数，是内模控制器仅有的设计参数。

M（s）与 P（s）一般是不匹配的。根据鲁棒性定理，内模控制系统闭环鲁棒稳定的条件为：

式中，lm是模型不确定性的上界，即有，em（s）≤lm，或，为了简单起见，取M+（s）=1。当过程与模型之间的不匹配度em（s）增大时，滤波器f（s）的模f（s）必须取小。由于现实中，lm的高频段会达到甚至超过1，因此λ的取值范围受到对象与模型不匹配程度的限制。当过程与模型不匹配时，f（s）的结构不能自动确保闭环响应的形状，对IMC设计方法，即取M+（0）f（0）=1和 f（s）= ，并采用如下的不等式

可以判定式（1-14）以及下面的理想误差函数在正常频率范围内是非常接近的

在低频时，≈1，则e=0。在时，f 非常小，≈0，式（1-14）和式（1-15）非常接近。在时，情况不定。因此选择足够大的λ，对于高频或低频输入（如阶跃），闭环响应与名义系统的响应相似。

总之，IMC设计步骤的优点是控制器参数以唯一和直接的方式与模型参数相关。在IMC控制器中，只有一个可调整的参数λ，并决定了系统的响应速度。此外，λ近似地与闭环带宽成正比。这样，可以获得滤波器参数λ的一个初始估计，并可根据需要在线调整。