1.1.2 矢量场的基本运算

除去矢量除法没有定义外，矢量的加、减和乘都比标量的加、减、乘和除更加复杂。一个矢量A可用一条用箭头指示方向的线段来表示，线段长度表示矢量A的模A，箭头指向表示矢量A的方向，如图1.1所示。一个模为1的矢量称为单位矢量。取aA表示与A同方向的单位矢量，则有A=aAA，其中

1.矢量加、减法

两个矢量A和B可按平行四边形法则相加，其对角线表示合成矢量C=A+B，如图1.2所示。矢量加法服从交换律和结合律

B和-B可以看做大小相等方向相反的两个矢量，故借助于矢量加法也可以实现矢量减法，如图1.3所示，有

2.矢量乘法

一个标量η与一个矢量A的乘积ηA仍为一个矢量，其大小为|η|A，其方向由η的正负来确定：若η＞0，则ηA与A平行同向；若η＜0，则ηA与A平行反向。

两个矢量A和B的点积（或标积）A·B是一个标量，可看做两矢量相互投影之值，定义为

式中，θ的取值范围为0≤θ≤π。如图1.4所示，当θ为锐角、直角和钝角时，点积标量为正、零和负值。矢量的点积满足交换律和分配律。

两个矢量A和B的叉积（或矢积）A×B是一个矢量，它垂直于A和B所在的平面，其指向按右旋法则来确定：当右手四指从矢量A旋转θ角至B时大拇指的指向，如图1.5所示，其定义为

叉积不满足交换律，但满足分配律，有