3.1 倒格矢、布洛赫定理与布里渊区[29],[30]

3.1.1 倒格矢

周期性介质的光学性质由它的介电张量和磁导率张量来描述，反映介质平移对称性的这两个张量是位矢r的周期函数，即

式中，a为任一点阵矢量，满足

其中a1，a2，a3为基矢（量），如图3.1-1所示。l1、l2、l3为整数。

式（3.1-1）表明介质在沿由式（3.1-2）定义的任一矢量a平移后，性质保持不变，换言之，介质在r处“看到”的情形与在r+a处“看到”的情形一样。在光子晶体中，介电函数ε（r）可写为

通常处理周期函数的方法是将其表示成傅里叶积分形式，即

根据周期性条件

因此

a为任意格矢，特别地，当a分别取a1，a2，a3时，有

显然，矢量q的量纲与矢量a的量纲互为倒数，若矢量a的量纲为m，则矢量q的量纲为m-1，因此称矢量q为倒格矢，相应地将矢量a称为正格矢。设倒格矢的基矢为b1，b2，b3，则

其中b1，b2，b3定义为

式中，Ω=a1·(a2×a3)为正格子原胞的体积。容易证明，正格子基矢a1，a2，a3与倒格子基矢b1，b2，b3之间满足

3.1.2 布洛赫定理

单色（频率为ω）光在周期性介质中的传播由麦克斯韦方程来描述，即

用r+a代替▽，ε，μ中的r后，这些方程保持不变。根据介质的平移对称性，可将其简正模（即相对于波矢方向保持频率和偏振态不变的振动状态的传播模）写成

式中，uk（r）和vk（r）都具有周期性，即

下标k表示函数Ek（r）和Hk（r）取决于k，k称为布洛赫波矢。式（3.1-12）和式（3.1-13）表示的结论为布洛赫定理，下面以电场为例加以证明。

首先将电场的本征函数表示成傅里叶积分形式，即

根据麦克斯韦方程组，可以证明电场矢量满足

将周期性的介电函数展开成傅里叶级数形式

将式（3.1-16）与式（3.1-14）代入式（3.1-15）得

上式对所有的r成立，因此被积函数之和为零，即

上式表明，只有与倒格矢有关的傅里叶分量参与构成本征值方程组。因此，也只需用与倒格矢有关的傅里叶分量来表示电场的本征函数，即

引入函数uk(r)，令

容易证明

因此

3.1.3 布里渊区

波矢k的量纲与倒格矢的量纲一致，因此波矢k的状态可以用以倒格矢b1，b2，b3为基矢所张开的空间中的一点来表示，这样可以将倒格子空间理解成波矢空间。而正格子空间就是位矢空间。注意，描述波的重要参量是波矢k和频率ω，ω和k之间的关系ω=ω（k），称为色散关系。在波矢空间表示的色散关系称为频带图（类似于固体物理中电子的能带图）。一般具有周期性排列的晶格都具有一定的对称性，例如旋转对称、镜面对称、平移对称等。可以证明，正格子所具有的对称元素，倒格子也具有。能反映晶体对称性的最小重复单元称为维格纳-塞茨元胞（Wigner-Seitz Cell）。它按以下方法选取:最近邻或次近邻两格点间连线的垂直平分面（三维）或垂直平分线（二维）所围成的单元，如图3.1-2所示。

1930年，布里渊首先提出用自原点出发的倒格矢的中垂面来划分波矢空间的区域，这些区域称为布里渊区。实际上，第一布里渊区就是倒格子空间的维格纳-塞茨元胞。根据布洛赫定理，由于在完整晶体中运动的电子、声子、磁振子等元激发的能量和状态都是倒格子空间的周期函数，波矢之差恰为一个倒格矢的两个状态完全相同，因此只需要用第一布里渊区中的波矢来描述能带电子、点阵振动和自旋波等的状态，并确定它们的能量（频率）和波矢的关系。限于第一布里渊区的波矢称为简约波矢，而第一布里渊区又称为简约布里渊区。布里渊区的形状取决于晶体所属布拉菲点阵的类型。简单立方、体心立方和面心立方点阵的简约布里渊区分别为立方体、菱十二面体和截角八面体（十四面体）。它们都是对称的多面体，并具有相应点阵的点群对称性，这一特征使简约布里渊区中高对称点的能量求解得以简化。正格子为面心立方（fcc）的第一布里渊区为截角八面体，如图3.1-3所示，图中标出了一些特殊的高对称点及其符号。色散关系的计算结果通常用频带图（或能带图）表示，而频带图正是第一布里渊区中那些高对称点及其连线上的波矢与对应频率的关系曲线。